Вакарчук І.О. Квантова механіка

одержуємо сталу C i умови на параметри α та β:

звiдси, для забезпечення збiжностi iнтеґрала вимагаємо, щоб α > 0, 2β < 1. З двох можливих розв’язкiв для α i β, наведених вище,

цю вимогу задовольняють

α = 1, β = −(l + 1),

замiною ρ2 = t зводимо до -функцiї i для сталої C знаходимо:

351

Отже, хвильова функцiя “основного стану”

Якщо l = 0, то радiальна функцiя R(r) = χ0,0/r збiгається, як i повинно бути, з наведеною вище функцiєю R0(r).

Перейдiмо до визначення рiвнiв енерґiї, використовуючи з §23 умову “узгодження” для суперсиметричного потенцiалу

βn W (ρ; αn, βn) = αnρ + ρ ,

а саме,

W 2(ρ; αn−1, βn−1) + W ′(ρ; αn−1, βn−1) = W 2(ρ; αn, βn) − W ′(ρ; αn, βn) + n.

Зауважуємо, по-перше, що функцiя W залежить вiд двох параметрiв α та β, а по-друге, вона є знерозмiреною, оскiльки ми працю-

ємо в знерозмiрених змiнних, i тому в рiвняннi вiдсутнi множники

√

~/ 2m бiля W ′. Пiдстановка функцiї W в це рiвняння дає

Прирiвнюючи коефiцiєнти при однакових степенях ρ злiва i спра-

ва в цьому виразi, отримуємо:

α2n−1 = α2n,

βn−1(βn−1 − 1) = βn(βn + 1),

n = 2(αn−1βn−1 − αnβn) + αn−1 + αn.

352

Тепер, пам’ятаючи умови на α та β, легко знаходимо

α2n = α2n−1 = α2n−2 = . . . = α20,

α0 = α = 1,

βn = βn−1 − 1 = βn−2 − 2 = . . . = β0 − n = −(n + l + 1),

β0 = β = −(l + 1),

зi збереженням умови 2βn < 1 або n + l + 1 > 1/2. При цьому

величина

n = 4.

Енерґетичнi рiвнi визначаємо, згiдно iз загальним правилом методу факторизацiї, з рiвняння

i отже, остаточно енерґiя залежить лише вiд комбiнацiї 2n + l:

Хвильовi функцiї збуджених станiв знаходимо, згiдно з §23, з рiвняння

353

n = 0, 1, 2, . . .; причому кiлькiсть операторних множникiв дорiвнює n, i при n = 0 вони вiдсутнi. Крiм того, зауважимо, що замiна

величин α = 1, β = −(l + 1) в χ0,l на αn = 1, βn = −(l + n + 1)

означає просту замiну в χ0,l числа l на (l + n).

“Ушляхетнимо” цей вираз. Для цього напишемо функцiю, на яку дiють операторнi дужки, так:

ρn+l+1e−ρ2/2 = ρ−leρ2/2 · ρn+2l+1e−ρ2 ,

i пронесемо перший множник ρ−leρ2/2 = exp(ρ2/2 − l ln ρ) крiзь операторнi круглi дужки, змiщуючи похiдну d/dρ на результат її дiї на показник експоненти, d/dρ → d/dρ + ρ − l/ρ, i запишемо вираз для радiальної функцiї Rn,l(r) = χn,l(ρ)/r,

354

де так званий узагальнений полiном Лаґерра3

Таким чином, задача повнiстю розв’язана, i нам залишилось хiба що пiдрахувати кратнiсть виродження. Як бачимо, рiвнi енерґiї просторового осцилятора є еквiдистантними, а число N = 2n+l

вiдiграє роль головного квантового числа, тобто такого числа, яке визначає енерґiю. При його фiксованому значеннi кратнiсть виродження

= (nmax + 1)(2N + 1 − 2nmax)

3Цi узагальненi полiноми Лаґерра є стандартизованими в математицi щодо

їхньої iндексацiї та сталих множникiв. Є iнше, усталене в теоретичнiй фiзи-

атома и спектры. М.: Изд-во иностр. лит., 1957. Т. 2). У такому позначеннi нижнiй iндекс це степiнь звичайного полiнома Лаґерра (коли α = 0), а верхнiй iндекс позначає кiлькiсть його диференцiювань за x.

355

1

= 2 (2nmax + 2)(2N + 1 − 2nmax)

або

g = (N + 2)(N + 1) . 2

Отже, основний стан (N = 0) є невиродженим, як i повинно бути. Перший збуджений стан (N = 1) трикратно вироджений з хвильовими функцiями, що мають такi квантовi числа: n = 0, l = 1,

m = 0, ±1.

Насамкiнець зробимо цiкаве зауваження. Оскiльки радiальне рiвняння має точний розв’язок, i при l 6= 0, то в одновимiрному випадку для частинки, що рухається на додатнiй пiвосi (x > 0) в полi U(x) = mω2x2/2 + A/x2, ми також будемо мати точний розв’язок, причому з еквiдистантними рiвнями енерґiї En. Необ-

хiдно лише зробити формальну замiну ~2l(l + 1)/2m = A, тобто p

(з урахуванням l > 0) l = −1/2 + 1/4 + 2mA/~2.

§ 41. Атом водню

Розглянемо рух електронiв у кулонiвському полi атомного ядра. Нехай заряд ядра дорiвнює Z|e| i потенцiальна енерґiя еле-

ктрона

Ze2 U = − r .

У випадку Z = 1 маємо модель атома водню. Випадок Z > 1 вiдповiдає руховi електрона у водневоподiбних йонах типу He+, Li++ i т. д. Нас передусiм цiкавитиме атом водню, для якого радiальне рiвняння є таким:

Випадок довiльного√Z реалiзуємо в остаточних виразах формальною замiною e на e Z.

Уведiмо замiсть змiнної r безрозмiрну змiнну

ρ = ar ,

356

де a деяка, характерна для цiєї задачi, довжина, яку пiдбираємо

з мiркувань зручностi. Тепер радiальне рiвняння запишемо так:

Пiдберiмо масштабну довжину a так, щоб mae2/~2 = 1, i отримаємо, що a = aB, де так званий “борiвський радiус”

~2 aB = me2 .

Цим ми фiксуємо також характерний масштаб вимiру енерґiї

~2 me4

2ma2 = 2~2 ,

який називають рiдберґом4: 1 Ry = me4/2~2. Чисельно цi величи-

ни дорiвнюють:

Таким чином, знерозмiрене рiвняння Шрединґера для атома водню має вигляд:

EE

ε= −~2/2ma2 = −me4/2~2 .

4Цю одиницю вимiру енерґiї назвали на честь шведського фiзика Йоганеса

Роберта Рiдберґа (1854–1919), який зробив значний внесок в атомну спектроскопiю.

Данте в “Божественнiй комедiї ” посадив на порозi другого кола Пекла справедливого царя Мiноса з античної мiфологiї у виглядi нечистого, у якого характерним масштабом вимiру мук грiшника був його хвiст вiн призначав вiдбувати покарання в тому колi Царства зла, номер якого дорiвнював кiлькостi виткiв хвоста навколо тiла грiшника.

357

Хвильову функцiю χ, використовуючи результати §39, вибираємо

так:

χ(ρ) = ρl+1e−ρ√εw(ρ).

Тепер знаходимо рiвняння для невiдомої функцiї w:

xw′′(x) + [2(l + 1) − x] w′(x) + 1/√ε − (l + 1) w(x) = 0,

√

x = 2ρ ε.

Зобразимо функцiю w = w(x) у виглядi ряду за степенями x:

X

w =

k≥0

Пiдставляючи цей вираз у попереднє рiвняння для w, ми отрима-

ємо

k≥0

У першому i другому доданках робимо замiну iндексу пiдсумовування k − 1 = k′, пiсля чого штрих знiмаємо:

X

(k + 1)kak+1 + 2(l + 1)(k + 1)ak+1 − kak

Для того, щоб ця рiвнiсть справджувалась при будь-яких значеннях змiнної x, необхiдно, щоб вираз у квадратних дужках дорiв-

нював нулевi:

√

(k + 1)kak+1 + 2(l + 1)(k + 1)ak+1 − kak + (1/ ε − l − 1)ak = 0.

Це дає рекурентне спiввiдношення для коефiцiєнтiв розкладу ak:

√

k + l + 1 − 1/ ε ak+1 = ak (k + 1)(k + 2l + 2) .

358

Дослiдимо поведiнку цих коефiцiєнтiв при великих значеннях iндексу k. Як бачимо, при k → ∞ ak

ak+1 k + 1

i отже,

1 ak+1 (k + 1)! .

Звiдси випливає, що функцiя

Таким чином, радiальна функцiя R на великих вiдстанях не спа-

дає:

i тим самим не задовольняє граничної умови. Виходом iз цiєї ситуацiї є обмеження на кiлькiсть членiв у розкладi функцiї w. Отже, приймемо, що ряд для w обривається i максимальне значення iндексу k дорiвнює певному числу nr. Його називають радiальним квантовим числом, причому nr = 0, 1, 2, . . . . Цей обрив забезпе-

чуємо умовою

anr +1 = 0,

а з рекурентної формули маємо, що

√

nr + l + 1 − 1/ ε = 0.

Це рiвняння фiксує можливi рiвнi енерґiї:

1

ε = (nr + l + 1)2 .

Зауважимо, що квантування енерґiї, як i в найпростiших задачах квантової механiки, якi ми розглянули ранiше, отримуємо з граничних умов. Уведiмо позначення

n = nr + l + 1.

Оскiльки орбiтальне квантове число l = 0, 1, 2, . . ., то число n, яке

називають головним квантовим числом, набуває цiлих додатних

359

значень, починаючи з одиницi, n = 1, 2, 3, . . . . Максимально можливе значення числа l при заданому n отримуємо, якщо nr = 0,

= n − 1. Отже, l = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Тепер

1

ε = n2 i в розмiрних одиницях енерґiя

me4 En = −2~2n2 .

Це i є знаменита формула Н. Бора (1913 р.). Е. Шрединґер цю формулу вивiв iз хвильового рiвняння в 1926 роцi.

Оскiльки ми обiрвали ряд для функцiї w на доданку з номером nr = n − l − 1, то

√

x = 2ρ ε = 2ρ/n.

Рекурентну формулу для коефiцiєнтiв ak записуємо в такому ви-

глядi:

k + l + 1 − n ak+1 = ak (k + 1)(k + 2l + 2) .

Випишемо явно послiдовнiсть цих коефiцiєнтiв:

l + 1 − n a1 = a0 (2l + 2) ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

360