Вакарчук І.О. Квантова механіка

Пiдстановкою x = tan(ϕ/2) цей iнтеґрал приводимо до табличного:

Тобто ми отримали формулу Бора для рiвнiв енерґiї електрона в атомi водню:

me4 E = − 2~2n2 ,

де n = nr + nϕ = 1, 2, 3, . . . головне квантове число.

Якщо взяти до уваги i сталi величини в умовi квантування νϕ = 1/2,

νr = 1/2, тобто замiнити nr на nr + 1/2, nr = 0, 1, 2 . . . , а nϕ на l + 1/2, l = 0, 1, 2 . . ., то головне квантове число n = nr + l + 1.

Повчально також розрахувати радiальну умову квантування через по-

де межi радiальної координати r при заданому pr знаходимо з виразу для

енерґiї,

а межi радiальної компоненти iмпульсу pr знаходимо з нуля цього пiдкореневого виразу: pr = ±me2ǫ/pϕ. Отже, iнтеґрал

271

тут b = (me ǫ) /pϕ2m|E|. Тепер, з умови квантування при pϕ = (l + 1/2),

приходимо до попереднього виразу для енерґiї.

Приклад 4. З умов квантування Бора–Зоммерфельда знайти рiвнi енерґiї просторового осцилятора. Енерґiя в полярних координатах r, ϕ

де pr , pϕ радiальний i азимутальний узагальненi iмпульси. Унаслiдок циклiчностi координати ϕ iмпульс pϕ є iнтеґралом руху, i з азимутальної умови квантування випливає, що pϕ = ~(l + 1/2), де азимутальне квантове число

l = 0, 1, 2, . . ..

Радiальна умова квантування Бора–Зоммерфельда,

272

Легко переконатися, що перший доданок тут на обох межах r+2 , r−2 дає

нульовий внесок (за означенням, точок повороту); другий доданок дорiвнює πE/ω, оскiльки арґумент оберненого синуса на верхнiй межi дорiвнює мiнус

одиницi, на нижнiй плюс одиницi, а в третьому доданку навпаки, дорiвнює (−πpϕ).

Урезультатi умова квантування дає:

π(E/ω − pϕ) = 2π~ (nr + 1/2)

або

E = ~ω(2nr + l + 3/2).

Цiкаво, що цей квазiкласичний результат збiгається з точним виразом для рiвнiв енерґiї iзотропного просторового осцилятора (див. §40).

Приклад 5. Обчислити рiвнi енерґiї циклоїдального маятника. Енерґiя класичного циклоїдального маятника (див. Приклад до §9)

де m маса частинки, ω частота коливань класичного циклоїдального маятника, a радiус кола, що творить циклоїду.

Формально цей вираз збiгається з енерґiєю лiнiйного гармонiчного осци- p

лятора, тому, коли точки повороту Q± = ± 2E/mω2 є в межах промiжку

(−4a, 4a), тобто енерґiя E < 8mω2a2, умова квантування Бора–Зоммерфельда

дає осциляторнi рiвнi:

En = ~ω(n + 1/2), n = 0, 1, 2, . . . , n,¯

де граничне квантове число n¯ дорiвнює максимальному цiлому числу, при

якому E < 8mω2a2, тобто n¯ дорiвнює цiлому вiд (8ma2ω/~ − 1/2), а якщо ця величина точно дорiвнює цiлому значенню k = 1, 2, . . . , то внаслiдок строгої

пiсля елементарного iнтеґрування приводить до трансцендентного рiвняння, з якого визначаємо рiвнi енерґiї:

де знерозмiрена енерґiя E = E/8mω2a2. Тут ураховано, що оскiльки рух частинки є обмеженим, то потенцiальна енерґiя в точках (±4a) має характер вертикальної стiнки, тому стала величина ν у правiй частинi правила квантування Бора–Зоммерфельда дорiвнює нулевi, ν = 0. Нумерацiю рiвнiв

273

починаємо з квантового числа, при якому E = 8mω2a2, E = 1, тобто воно до-

рiвнює цiлому вiд 8ma2ω/~. Оскiльки величина E ≥ 1, то можемо вважати,

√

що 0 ≤ arcsin(1/ E ) ≤ π/2. Спектр є необмеженим зверху.

При великих квантових числах n, коли E 1, вираз у квадратних дуж-

√

ках нашого трансцендентного рiвняння дорiвнює 2/ E , i ми отримуємо такi

рiвнi: En = ~2π2n2/128ma2, тобто, як i повинно бути, це рiвнi енерґiї частинки в прямокутнiй потенцiальнiй ямi шириною 8a з безмежно високими стiнками.

Приклад 6. Знайти квазiкласичнi рiвнi енерґiї частинки з функцiєю Ла-

ґранжа (у знерозмiрених одиницях) L = x˙ 2/x − x, x > 0 (див. Приклад 3 до

§ 9).

За означенням, iмпульс частинки p = ∂L/∂x˙ = 2x/x˙ , а функцiя Гамiльто-

на H = xp˙ − L = xp2/4 + x, i отже, класична енерґiя частинки E = xp2/4 + x. Звiдси знаходимо iмпульс p, i умова квантування Бора–Зоммерфельда дає:

Z E p

4 E/x − 1 dx = 2π (n + 3/4) , n = 0, 1, 2, . . . .

0

Ми працюємо у знерозмiрених одиницях, тому покладаємо ~ = 1; задана умовою задачi точка повороту x = 0 є вертикальною стiнкою, тому стала в умовi

квантування ν = 3/4. Iнтеґрал, який замiною E/x = ch2t елементарно зводимо до табличного, дорiвнює Eπ/2. У результатi отримуємо E = (n+ 3/4). Цей

вираз можна переписати так: E = (n′ + 1/2)/2, n′ = 2n + 1, n′ = 1, 3, 5,. Тобто

ми отримали рiвнi енерґiї для “обрiзаного” гармонiчного осцилятора з частотою ω = 1/2. Цей результат, очевидно, збiгається iз знайденим у Прикладi 3

до § 9, де гамiльтонiан ˆ зведено до гамiльтонiана “обрiзаного” гармонiчного

H

осцилятора.

Приклад 7. Знайти рiвнi енерґiї частинки, гамiльтонiан якої в знерозмiрених величинах H = p2/2q + q/2, q > 0 (Шварцшiльдiвська чорна дiра).

З умови квантування маємо:

Z 2E p

2 2Eq − q2 dq = 2π(n + ν), n = 0, 1, 2, . . . ,

0

стала ν = 3/4, оскiльки точка повороту q = 0 є вертикальною стiнкою. Iнтеґрал табличний i дорiвнює E2π/2. У результатi маємо:

p p

E = 2(n + 3/4) = n′ + 1/2, n′ = 2n + 1 = 1, 3, 5, . . . .

Цей результат збiгається з тим, що ми знайшли у Прикладi 2 до цього параграфа з енерґiєю, яка отримана в Прикладi 2 до § 9 пiсля канонiчного перетворення.

274

§ 31. Квантова механiка та iнтеґрали за траєкторiями

Як матрична квантова механiка Гайзенберґа, так i хвильова механiка Шрединґера ґрунтуються значною мiрою на використаннi гамiльтонового формалiзму. Iншими словами, i операторнi рiвняння руху

використовують оператор Гамiльтона ˆ , який у багатьох випад-

H

ках будується з класичної функцiї Гамiльтона вiдповiдною замiною узагальнених iмпульсiв i координат на оператори. Аналогами наведених рiвнянь у класичнiй механiцi, як це було показано ранiше, є вiдповiдно рiвняння Гамiльтона та рiвняння Гамiльтона– Якобi.

Як ми вже знаємо, цi два, здавалось би, рiзнi пiдходи до опису квантовомеханiчних явищ математично є еквiвалентними i доповнюють один одного. Виявляється, що можливим є ще одне, третє формулювання квантової механiки, до викладу якого ми i переходимо.

У класичнiй механiцi, крiм гамiльтонового пiдходу до побудови рiвнянь руху, є ще метод Лаґранжа, який ґрунтується на введеннi функцiї Лаґранжа L = L(x,˙ x, t) як функцiї узагальнених

координат та швидкостей. У найпростiшому випадку вона дорiвнює рiзницi кiнетичної енерґiї K та потенцiальної енерґiї U:

L = K − U.

Як завжди, ми для простоти розглядаємо рух частинки в одновимiрному просторi. Нехай частинка починає свiй рух з деякої точки в момент часу ta i завершує його в iншiй точцi в момент часу tb.

З принципу мiнiмальностi дiї

Z tb

S = L(x,˙ x, t) dt,

ta

275

тобто з умови δS = 0, знаходимо рiвняння Лаґранжа3

Зв’язок мiж функцiєю Лаґранжа i функцiєю Гамiльтона вiдомий:

L = px˙ − H,

p = ∂L∂x˙ ,

i тому, знаючи L, можна за цим рiвнянням розрахувати H i вiд-

повiдно потiм перейти до квантової задачi.

Однак не завжди вдається так просто виразити узагальненi швидкостi x˙ через узагальненi iмпульси p, тобто рiвняння p = ∂L/∂x˙ не завжди обертається в явному виглядi x˙ = x˙ (p). Є цi-

ла низка таких задач, наприклад, у слаборелятивiстськiй механiцi. Тому виникає потреба винайти такий шлях квантування, який використовував би не гамiльтонiв, а безпосередньо лаґранжiв пiдхiд. Саме таку мету i мав Р. Фейнман, який побудував у 1942 роцi в докторськiй дисертацiї свiй “варiант” квантової теорiї. Слiд, однак, зауважити, що i саму iдею, i фактично основнi формули такого пiдходу ранiше подав П. А. М. Дiрак4.

Цей шлях цiкавий тим, що поряд iз квантовими амплiтудами ймовiрностей та принципом суперпозицiї вiн використовує такi наочнi поняття, як класичнi траєкторiї та класична дiя, тим самим iнтуїтивно складається враження нiбито бiльшої зрозумiлостi того, що вiдбувається в мiкросвiтi.

3Принцип найменшої дiї, або варiацiйний принцип, увiв у фiзику П’єр Фер-

ма (1601–1665), французький математик i фiзик, приблизно в 1660 роцi. Згiдно з цим принципом, свiтло поширюється вiд точки до точки по шляху, що потребує найменшого часу: природа дiє найлегшими та найдоступнiшими шляхами. Пiзнiше, у наступних столiттях, цей принцип розробляли Мопер-

тюї, Ейлер, Лаґранж, Гамiльтон. Його унiверсальнiсть i виняткова роль у фiзицi стали зрозумiлими пiсля робiт Гельмгольца, Планка, Нетер. Цiкаво, що саме поняття дiї ввiв ще Ляйбнiц. У XVIII сторiччi цей принцип викликав велике зацiкавлення, особливо з фiлософського погляду. П.-Л. М. де Мопертюї (1698–1759) вбачав у цьому основу теологiчного свiтогляду, вiн наводив цей принцип (“Нариси Космологiї”, 1750 р.) як доказ iснування Бога, уважаючи, що решта доказiв були безсилими й непереконливими.

4Про це неодноразово говорив i сам Р. Фейнман; див., наприклад, його

Нобелiвську лекцiю, а також статтю: R. Feynman, Rev. Mod. Phys. 20, No. 2, 362 (1948).

276

Уведемо амплiтуду ймовiрностi того, що частинка з точки xa в момент часу ta перейде в точку xb в момент часу tb

K(b, a) = K(xb, tb; xa, ta),

так що ймовiрнiсть такого переходу

P (b, a) = |K(b, a)|2.

Використаємо той факт, що у квазiкласичному наближеннi, як ми бачили, хвильова функцiя визначається класичною дiєю

S = S(x, t),

ψ(x, t) e ~i S(x,t).

Будемо постулювати, що ймовiрнiсть такого переходу за деякою траєкторiєю визначається амплiтудою, яка пропорцiйна до величини

Рис. 31. Можливi шляхи переходу частинки з точки a в точку b.

Повна амплiтуда ймовiрностi

за всiма можливими траєкторiями з a в b

S = S[x(t)] тобто беремо суму за всiма мислимими шляхами, а

не лише за класичною траєкторiєю (див. рис. 31).

277

У класичному випадку дiя макроскопiчної системи на багато порядкiв перевищує квант дiї ~ = 1.05457266 · 10−27 г·см2/сек, S/~ 1. Тому внески вiд сусiднiх траєкторiй, що визначаю-

ться швидко осцилюючим множником e ~i S , компенсуються (фун-

кцiя практично не змiнює свого чисельного значення, але змiнює знак!)5. Тому вiдмiнний вiд нуля внесок є лише вiд тих траєкторiй x(t), для яких при переходi до iнших сусiднiх x(t) + δx(t) дiя S не змiнюється в першому наближеннi за δx(t):

S[x(t) + δx(t)] = S[x(t)],

тобто варiацiя

δS = S[x(t) + δx(t)] − S[x(t)]

дорiвнює нулевi,

δS = 0.

Це i є принцип найменшої дiї в класичнiй механiцi, з якого випливають класичнi рiвняння руху.

У квантовiй системi внески всiх траєкторiй є сумiрними, оскiльки S ~.

Таким чином, у квантовiй механiцi необхiдно враховувати суму за всiма можливими шляхами. Якщо розглядати безмежно близькi траєкторiї, то сума замiнюється iнтеґралом. Розглянемо детальнiше цей перехiд. Розiб’ємо часовий iнтервал tb − ta на N однакових елементарних iнтервалiв величиною ε,

як це зображено на рис. 32.

Ставимо у вiдповiднiсть кожному моментовi часу ti значення координати xi. Якщо ми маємо в момент ti значення координати xi = x(ti) на траєкторiї x(t), то через промiжок часу ε вiдбувається змiщення на xi на траєкторiю x(t) + δx(t) (див. рис. 33).

5Для прикладу вiзьмiмо iнтеґрал у безмежних границях вiд швидко осцилюючої функцiї cos νx, ν → ∞, помноженої на “повiльну” функцiю, що забез-

278

Рис. 32. Розбиття часового iнтервалу на елементарнi промiжки.

Перебираючи таким чином усi можливi траєкторiї, амплiтуду ймовiрностi записуємо в такому виглядi:

причому значення координати й часу мiж точками з номерами j та j + 1 беремо як пiвсуму крайнiх значень x → (xj+1 + xj)/2, t → (tj+1 + tj)/2, а швидкiсть як середню швидкiсть x˙ →

(xj+1 − xj )/ε. Iнтеґрування за координатами x0 = xa та xN = xb

не проводимо: кiнцi траєкторiй за умовою є закрiпленими. Якщо iнтервал ε спрямувати до нуля, то так ми переберемо

всi можливi моменти часу i всi можливi траєкторiї:

→∞

Ми розбили сталу величину const на добуток сталих величин 1/A, якi нам треба буде ще визначити.

279

Рис. 33. Перехiд вiд однiєї траєкторiї до iншої вiдповiдно до розбиття часового iнтервалу.

Ми означили таким чином амплiтуду ймовiрностi через безмежнократний iнтеґрал. Так означений iнтеґрал називають континуальним, або функцiональним, iнтеґралом. Ми сподiваємось, що значення цього iнтеґрала не залежить вiд способiв розбиття часового промiжку та траєкторiй на елементарнi iнтервали. Цей iнтеґрал записують ще й так:

Z

K(b, a) = e ~i S[x(t)]D[x(t)].

Такий символiчний запис є просто скороченим записом попередньої формули. Зi сказаного стає зрозумiло, чому цей пiдхiд має назву методу iнтеґралiв за траєкторiями, або методу iнтеґралiв за шляхами.

Унаслiдок адитивностi функцiї дiї

280