Вакарчук І.О. Квантова механіка
.pdf
УДК 530.145 ББК 22.31я73 В 14
Рецензенти: д-р фiз.-мат. наук Ю. О. Ситенко (Iнститут теоретичної фiзики iменi М. М. Боголюбова), д-р фiз.-мат. наук, проф. М. В. Ткач (Чернiвецький нацiональний унiверситет iменi Ю. Федьковича), д-р фiз.-мат. наук О. Б. Заславський (Харкiвський нацiональний унiверситет iменi В. Н. Каразiна)
Затверджено Мiнiстерством освiти i науки, молодi та спорту України
як пiдручник для студентiв вищих навчальних закладiв
(лист №1/11-596 вiд 18.01.2012)
Вакарчук I. О.
В14 Квантова механiка : пiдручник / I. О. Вакарчук. 4-те вид., доп.
Львiв : ЛНУ iменi Iвана Франка, 2012. 872 с.: 78 iл.
ISBN 978-966-613-921-7.
У пiдручнику подано послiдовний виклад фiзичних основ i математичного апарату квантової механiки та її застосування до рiзних задач. Матерiал книжки вiдповiдає стандартнiй унiверситетськiй програмi курсу квантової механiки й охоплює всi її роздiли. Фактично це пiдручник з канонiчного курсу “Квантова механiка”, який є частиною загального курсу “Теоретична фiзика” й читається студентам III–IV курсiв фiзичних спецiальностей унiверситетiв. Особливу увагу придiлено численним iлюстрацiям зв’язку фiзичних явищ iз фундаментальною величиною хвильовою функцiєю та її фазою, принциповi суперпозицiї, фiлософському трактуванню ймовiрнiсної концепцiї квантової механiки, квантовiй iнформацiї. Подано також багато прикладiв–задач, серед яких поряд iз традицiйними є ориґiнальнi та такi, що їх звичайно не включають до пiдручникiв. Розв’язки цих невеличких проблем дадуть змогу читачевi глибше зрозумiти основний матерiал i контролювати його засвоєння. Нарис творення квантової механiки та iсторичнi екскурси, що супроводжують основний матерiал, мiстять знання, якi є необхiдним елементом культури фiзика. Невiд’ємною частиною пiдручника є вiдступи та виноски, де подано цiкавi задачi, часом, може, несподiванi, наведено аналогiї з класичної механiки, теорiї музики, мистецтва. . . Мета цьогозвернути увагу читача на зв’язки мiж рiзними явищами, що охоплюють i людську дiяльнiсть, та продемонструвати силу й унiверсальнiсть математики в їх аналiзi.
Для студентiв, аспiрантiв, науковцiв. Буде корисний для викладачiв i всiх, хто цiкавиться квантовою фiзикою.
|
|
УДК 530.145 |
|
|
ББК 22.31я73 |
|
c |
I. О. Вакарчук, 1998 |
|
c |
I. О. Вакарчук, доповнене, 2004 |
|
c |
I. О. Вакарчук, доповнене, 2007 |
ISBN 978–966–613–921–7 |
c |
I. О. Вакарчук, доповнене, 2012 |
ЗМIСТ
Передмова до четвертого видання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
Передмова до третього видання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
Передмова до другого видання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
Передмова до першого видання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
11 |
Вступ |
13 |
Iсторичний нарис створення квантової теорiї . . . . . . . . . . . |
13 |
Роздiл I. Основнi принципи квантової механiки |
31 |
§ 1. Опис стану у квантовiй механiцi . . . . . . . . . . . . . . . |
31 |
§2. Хвильова функцiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
§3. Принцип суперпозицiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
§4. Парадокси квантової механiки . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§ 5. Хвильова функцiя вiльної частинки . . . . . . . . . . . . . 71
§6. Середнi значення координати та iмпульсу . . . . . . . . . . 84
§7. Спiввiдношення невизначеностей Гайзенберґа . . . . . . . . 89
Роздiл II. Математичний апарат квантової механiки |
101 |
|
§ 8. |
Оператори фiзичних величин . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 |
|
§ 9. |
Власнi функцiї i власнi значення операторiв |
|
|
та їх фiзична iнтерпретацiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 |
|
§ 10. |
Властивостi власних функцiй i власних значень |
|
|
ермiтових операторiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 |
|
§ 11. |
Спiввiдношення невизначеностей для фiзичних величин, |
|
|
що представляються некомутуючими операторами . . . . . 131 |
|
§ 12. |
Рiзнi представлення станiв квантових систем. |
|
|
Бра- i кет-вектори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 |
|
§13. Рiзнi представлення операторiв. Матрицi операторiв . . . . 142
§14. Квантова механiка теорiя лiнiйних операторiв
угiльбертовому просторi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Роздiл III. Рiвняння Шрединґера |
155 |
§ 15. Хвильове рiвняння . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 |
§16. Закон збереження ймовiрностi. Рiвняння неперервностi . . 162
§17. Змiна середнiх значень фiзичних величин iз часом.
Квантовi дужки Пуаcсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3
§18. Стацiонарнi стани . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
§19. Представлення Шрединґера i представлення Гайзенберґа . 176
Роздiл IV. Найпростiшi задачi квантової механiки |
181 |
§ 20. Частинка в одновимiрнiй прямокутнiй потенцiальнiй ямi
з безмежно високими стiнками . . . . . . . . . . . . . . . . 181
§21. Гармонiчний осцилятор. Хвильовий пiдхiд . . . . . . . . . . 186
§22. Гармонiчний осцилятор. Метод операторiв породження
|
та знищення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 |
|
§ 23. |
Метод факторизацiї для визначення власних значень |
|
|
та власних функцiй операторiв |
. . . . . . . . . . . . . . . . 208 |
§ 24. |
Ангармонiчний |x|-осцилятор |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 224 |
§ 25. |
Проходження частинки крiзь потенцiальний бар’єр . . . . 233 |
|
§26. Холодна емiсiя електронiв з металу . . . . . . . . . . . . . . 244
§27. Теорiя Ґамова α-розпаду важких ядер . . . . . . . . . . . . 246
Роздiл V. Зв’язок квантової механiки з класичною |
249 |
§28. Перехiд вiд квантових рiвнянь руху до класичних . . . . . 249
§29. Хвильова функцiя у квазiкласичному наближеннi.
Метод Вентцеля–Крамерса–Брiллюена . . . . . . . . . . . . 254
§30. Правило квантування Бора–Зоммерфельда . . . . . . . . . 260
§31. Квантова механiка та iнтеґрали за траєкторiями . . . . . . 275
Роздiл VI. Момент кiлькостi руху |
287 |
§32. Оператор повороту i момент кiлькостi руху . . . . . . . . . 287
§33. Власнi значення та власнi функцiї операторiв квадрата
йпроекцiй моменту кiлькостi руху . . . . . . . . . . . . . . 294
§34. Власнi функцiї операторiв квадрата й проекцiй
орбiтального моменту кiлькостi руху . |
. . . . |
. . . |
. . |
. . |
. 305 |
§ 35. Спiн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . |
. . . |
. . |
. . |
. 312 |
§ 36. |
Матрицi операторiв повороту для j = 1 |
. . . . . . |
. . |
. . |
. 323 |
§ 37. |
Квантове обертання твердого тiла . . |
. . . . . . . |
. . |
. . |
. 328 |
§ 38. |
Ядерний квадрупольний резонанс . . . . . . . . . . . . . . . 332 |
||
Роздiл VII. Рух частинки в центрально-симетричному полi |
341 |
||
§ 39. |
Рух у полi центральної сили. Радiальне рiвняння |
|
|
|
Шрединґера |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 |
|
§ 40. |
Просторовий осцилятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 |
||
§ 41. |
Атом водню |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 |
|
§42. Атом водню. Метод факторизацiї . . . . . . . . . . . . . . . 377
§43. Атом водню. Iнтеґрал руху Лапласа–Рунґе–Ленца . . . . . 381
§44. Радiальне рiвняння Шрединґера в N-вимiрному просторi . 387
4
Роздiл VIII. Теорiя збурень |
399 |
§45. Стацiонарна теорiя збурень. Невироджений випадок . . . . 399
§46. Моделi з малими параметрами, створеними з “Нiчого” . . . 408
§47. 1/N-розклад . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
§48. Ефективна маса домiшок у конденсованих тiлах . . . . . . 426
§49. Модель iз неаналiтичною залежнiстю енерґiї
вiд константи взаємодiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
§50. Теорiя збурень у випадку виродження . . . . . . . . . . . . 434
§51. Ефект Штарка в атомi водню . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
§ 52. π-електронна теорiя органiчних молекул . . . . . . . . . . 443
§53. Варiацiйний принцип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
§54. Непертурбацiйний розрахунок енерґетичного спектра
ангармонiчного осцилятора . . . |
. . . . . . . |
. . . |
. . . . |
. 460 |
§ 55. Теорiя збурень, залежних вiд часу |
. . . . . . |
. . . |
. . . . |
. 467 |
§56. Iмовiрнiсть квантового переходу за одиницю часу . . . . . 472
§57. Розсiяння нейтронiв у конденсованих тiлах . . . . . . . . . 476
§58. Квантовi переходи пiд дiєю раптових збурень . . . . . . . . 480
Роздiл IX. Взаємодiя атома з електромагнiтним полем |
483 |
§ 59. |
Квантування вiльного електромагнiтного |
поля . . . |
. . |
. 483 |
§ 60. |
Ефект Казимира . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . |
. . |
. 497 |
§ 61. Теорiя випромiнювання й поглинання свiтла |
. . . . . . . . 504 |
|
§ 62. Електричне дипольне випромiнювання. |
|
|
|
Правила вiдбору . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 |
|
§ 63. Електричнi квадрупольнi та магнiтнi |
|
|
|
дипольнi переходи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 |
|
§ 64. |
Час життя збуджених станiв атомiв. Природна ширина |
|
|
спектральних лiнiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 |
|
§ 65. |
Квантова теорiя дисперсiї свiтла . . . . . . . . . . . . . . . 545 |
|
§ 66. |
Фотоефект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557 |
|
Роздiл X. Релятивiстська квантова механiка |
567 |
|
§ 67. |
Рiвняння Кляйна–Ґордона–Фока . . . . . . . |
. . . . . . . . 567 |
§68. Кеплерiвська проблема в теорiї Кляйна–Ґордона–Фока . . 575
§69. Рiвняння Дiрака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
§70. Матрицi Дiрака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
§71. Рiвняння неперервностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
§72. Момент кiлькостi руху в теорiї Дiрака . . . . . . . . . . . . 595
§73. Вiльний рух релятивiстської частинки . . . . . . . . . . . . 598
§74. Сферичний спiнор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
§ 75. |
Рiвняння Паулi . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . 616 |
§ 76. |
Квазiрелятивiстське наближення рiвняння |
Дiрака. |
|
Спiн-орбiтальна взаємодiя . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . 620 |
§77. Атом водню з урахуванням релятивiстських поправок . . . 626
§78. Точний розв’язок рiвняння Дiрака для кулонiвського
потенцiалу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
5
§ 79. |
Атом у магнiтному полi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 |
|
§ 80. |
Рух частинки в однорiдному магнiтному полi . . . . . . . . 644 |
|
Роздiл XI. Квантова механiка системи багатьох частинок |
651 |
|
§ 81. |
Принцип тотожностi частинок у квантовiй механiцi |
. . . . 651 |
§ 82. |
Теорiя атома гелiю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . 662 |
§83. Вiд’ємний йон водню H− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681
§84. Метод Гартрi–Фока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
§85. Метод Томаса–Фермi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
§86. Молекули. Адiабатичне наближення . . . . . . . . . . . . . 697
§87. Молекула водню H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
§88. Молекулярний йон водню H+2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
§89. Хiмiчний зв’язок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
§ 90. |
Сили Ван дер Ваальса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 |
|
§ 91. |
Бозе-рiдина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 |
|
Роздiл XII. Основи квантової iнформацiї |
747 |
|
§ 92. |
Сплутанi EPR-стани . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . 747 |
§93. Квантова телепортацiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749
§94. Спiновi стани системи частинок . . . . . . . . . . . . . . . . 755
§95. Телепортацiя фотонiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760
§96. Квантовий комп’ютер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766
§ 97. |
Квантова криптографiя . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . 773 |
§ 98. |
Нерiвностi Белла . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . 776 |
Роздiл XIII. Рух частинки в деформованому просторi |
785 |
|
§99. Деформованi дужки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . 785
§100. Гармонiчний осцилятор у квантованому просторi . . . . . 789
§101. Рух у центрально-симетричному полi в N-вимiрному просторi з деформованою алґеброю Гайзенберґа . . . . . . 791
§102. Атом водню в деформованому просторi . . . . . . . . . . . 799
§103. Проблема Кеплера в теорiї Дiрака з деформацiєю . . . . . 803
Роздiл XIV. Теорiя розсiяння |
817 |
|
§ 104. |
Амплiтуда розсiяння . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 817 |
§ 105. |
Борнiвське наближення . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 825 |
§ 106. |
Розсiяння електронiв на атомi |
. . . . . . . . . . . . . . . . 828 |
§107. Метод парцiальних хвиль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830
§108. Теорiя непружного розсiяння . . . . . . . . . . . . . . . . . 840
§ 109. Динамiчний структурний фактор |
. . . . . . . . . . . . . . 849 |
Пiслямова . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . 861 |
Список рекомендованої лiтератури . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . 862 |
Предметний покажчик |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. 865 |
Iменний покажчик . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. 869 |
ПЕРЕДМОВА ДО ЧЕТВЕРТОГО ВИДАННЯ
Це видання фактично є стереотипним до третього, яке вийшло 2007 року, за винятком того, що додано декiлька нових авторських прикладiв та виносок, усунено виявленi друкарськi помилки, зроблено незначнi змiни тексту уточнювального та мовного характеру.
Iван Вакарчук
Львiв, серпень, 2011.
ПЕРЕДМОВА ДО ТРЕТЬОГО ВИДАННЯ
Основним доповненням у новому виданнi цього пiдручника є видiлення в окремi глави проблем i досягнень квантової iнформацiї та квантової механiки у просторах iз деформованими дужками Пуассона, якi в попереднiх подано лише частково й “розпорошено” в прикладах i вiдступах по всiй книжцi.
Докладнiше розглянуто в окремих параграфах теорiю квантових комп’ютерiв, квантову телепортацiю та квантову криптографiю. Хоча цi питання є лише додатковими до головних роздiлiв курсу квантової механiки, однак вони вражаюче яскраво iлюструють фундаментальнi принципи теорiї, i сьогоднi їх iнтенсивно та успiшно дослiджують експериментатори зi сподiванням запровадити незабаром цi новi явища в наше повсякденне життя.
Крiм того, подано новi задачi квантової механiки частинки з масою, залежною вiд координат, яка рухається в багатовимiрному просторi з деформованою алґеброю Гайзенберґа для операторiв, що представляють узагальненi координати та iмпульси. Цей напрямок, який тепер активно розвивають, своїми витоками йде вiд iдеї квантування простору, що належить одному з творцiв квантової теорiї В. Гайзенберґовi.
Доповнено це видання й новими прикладами, значна частина з яких є авторськими. Поданi в пiдручнику приклади можуть скласти окремий збiрник задач для активного вивчення загальних iдей i принципiв квантової механiки, а деякi з них можуть мати для допитливого Читача продовження як самостiйне наукове дослiдження.
Частина доданого матерiалу виходить (як це було й у попереднiх виданнях) за межi традицiйної програми курсу квантової механiки й бiльше розрахована на аспiрантiв та молодих дослiдникiв, якi не обмежують свою природну цiкавiсть або ж наукова творчiсть яких торкається цих питань.
У цьому виданнi також зроблено кiлька нових вiдступiв та виносок, якi супроводжують i забарвлюють основний текст i мають, як i попереднi, дещо атракцiйний характер. Готуючи до друку перше видання книжки, я вагався, чи доречно давати цi виноски та вiдступи в такому академiчному творi як унiверситетський пiдручник iз квантової механiки. Виявилось, однак, що це виправдало себе, оскiльки вони не лише iлюструють студентам можливiсть опису рiзноманiтних явищ природи однаковими фiзичними моделями та математичними засобами дослiдження, розсовуючи межi їхнього свiтогляду й виховуючи в них вiдчуття свободи наукової творчостi, але й завдяки своїй доступностi цi вiдступи викликали несподiвано жваву зацiкавленiсть i тих Читачiв, якi є далекими вiд цiєї прекрасної науки з її запаморочливою математикою, i, що головне, спричинили серед широкого кола людей рiзних професiй, якi прагнуть насолоджуватись процесом пiзнання й чути музику сфер, популяризацiю засадничих квантовомеханiчних принципiв i понять, що є достатньо простими, хоча, може, i незбагненними. . .
Висловлюю глибоку подяку своїм колегам з кафедри теоретичної фiзики Львiвського унiверситету В. М. Ткачуковi, В. М. Мигалевi, А. А. Ровенчаковi, Ю. С. Криницькому, Б. В. Будному, М. М. Стецковi, М. В. Шльонзак, Н. А. Сiдлецькiй, Р. О. Притулi за тi години дискусiй, якi вони подарували менi, неодноразово перечитуючи рiзнi роздiли рукопису книжки, а також рецензентам М. В. Ткачевi, Ю. О. Ситенковi, О. Б. Заславському за їхнi зауваження та винятково доброзичливi й щирi поради, О. Кiктєвiй за комп’ютерний набiр книжки й постiйну та активну допомогу.
Iван Вакарчук
Львiв, сiчень, 2007.
ПЕРЕДМОВА ДО ДРУГОГО ВИДАННЯ
Друге видання цьoго пiдручника порiвняно з першим, яке вийшло у свiт п’ять рокiв тому, доповнено з урахуванням розвитку квантовомеханiчної теорiї, експериментальних досягнень, зроблених останнiм часом завдяки фiлiґранному використанню нових iнструментальних можливостей; змiст доповнень вiдбиває й деякi побажання читачiв, а також особистi зацiкавлення автора як конкретними задачами, так i концептуальними засадами квантової механiки.
Розширено iсторичний нарис створення квантової теорiї з особливою увагою до тих перших крокiв М. Планка, що привели його до гiпотези квантiв i вiдкриття фундаментальної сталої ~, яку названо його iменем. Ширше обговорено питання iнтерпретацiї квантової механiки, її так званi парадокси, теорiю схованих параметрiв. Докладно подано явище квантової телепортацiї, заторкнуто також питання квантових комп’ютерiв та квантової криптографiїце може розглядатись i як вступ до теорiї квантової iнформацiї, що тепер бурхливо розвивається.
Я вважав за доцiльне ознайомити Читача з методом факторизацiї для розв’язування рiвнянь на власнi функцiї та власнi значення операторiв з подальшим його застосуванням упродовж викладу матерiалу. Цей метод, який винайшов Е. Шрединґер, дiстав останнiм часом новий iмпульс до свого розвитку. Уведено також кiлька “метрологiчних” задач, таких, як ангармонiчний |x|-осцилятор та заряджена частинка в магнiтному полi; послiдов-
но подано теорiю збурень з малим параметром, що є величиною, оберненою до вимiрностi простору (1/N-розклад), з iлюстрацiєю
ефективностi такого пiдходу на конкретних моделях; наведено розв’язки низки нових задач та прикладiв, зокрема i непертурбацiйний пiдхiд до обчислення власних значень енерґiї ангармонiчного осцилятора; точнiше сформульовано деякi твердження, що пiдсилює в них думки автора.
9
Головна мета пiдручника залишилась незмiнною дати систематичний виклад фiзичних основ i математичного апарату квантової механiки так, щоб початкiвець, який узявся за її вивчення, iдучи крок за кроком, змiг би досягти глибокого розумiння поведiнки квантових об’єктiв у рiзних умовах, а також усвiдомити той незбагненний i парадоксальний факт, що у квантовiй фiзицi сила людського розуму, чи не вперше у своїй iсторiї, зiткнувшись зi справжньою неможливiстю вiзуалiзувати подiї мiкросвiту та з тим, що ми називаємо “поза здоровим глуздом”, виявилась здатною створити принципово новi засоби пiзнання навколишностi, причому не просто вивчати подiї на атомних та субатомних просторово-часових масштабах, але й точно передбачати новi явища i “змушувати” їх через створення рiзноманiтних пристроїв слугувати людинi.
Щодо самого характеру викладу, то вiн зберiг стиль попереднього видання, зокрема наведено кiлька нових вiдступiв та виносок, роль яких запросити до дискусiй, на якi нас штовхає глибоко закорiнений iнстинкт пошуку нового зi сподiваннями виявити тi фiзичнi та математичнi механiзми, що творять багатовимiрну партитуру зв’язкiв мiж рiзними явищами.
Висловлюю подяку своїм колегам iз кафедри теоретичної фiзики Львiвського унiверситету В. М. Ткачуковi, Т. В. Фiтьовi, А. А. Ровенчаковi, Ю. С. Криницькому, Б. В. Будному за обговорення як принципових, так i “незначних”, але дуже потрiбних питань, викладених тут, рецензентам першого видання цього пiдручника проф. В. I. Лендьеловi i проф. М. В. Ткачевi за побажання, якi враховано в новому виданнi, завiдувачевi кафедри теоретичної ядерної фiзики Харкiвського унiверситету проф. Ю. А. Бережному за поради й зауваження, якi вiн люб’язно висловив до першого видання, а також О. Кiктєвiй за комп’ютерний набiр книжки та незмiнну допомогу при її пiдготовцi до друку.
Iван Вакарчук
Львiв, червень, 2003.