4. Системи булевих функцій. Спеціальні класи булевих функцій.

Система булевих функцій називається повною, якщо будь-яка булева функція є суперпозицією функції з цієї системи.

Теорема. Наступні системи булевих функцій є повними.

1) 2) 3)

4) 5) 6) 7)

Говорять, що функція зберігає нуль, якщо . Клас функцій, що зберігають нуль позначається P₀.

Говорять, що функція зберігає одиницю, якщо . Клас функцій, що зберігають одиницю позначається P₁.

Булева функція називається двоїстою, якщо виконується умова .

Булева функція називається самодвоїстою, якщо . Клас самодвоїстих функцій позначається S.

Введемо відношення порядку у множині вважаючи, що 00, 01, 11.

Булева функція називається монотонною, якщо з того, що випливає, що . Клас монотонних булевих функцій позначається M.

Клас називається власним, якщо він не пустий, і не співпадає з класом усіх булевих функцій.

Клас називається замкнутим, якщо він разом з усіма своїми формулами містить і будь-яку свою суперпозицію.

Теорема. Класи P₀, P₁, S, M є власними, замкнутими.

Теорема. Система булевих функцій є повною тоді і тільки тоді, якщо система має функцію, яка не належить P₀, і система не належить P₁ і S, M, L.

5. Типові пристрої ЕОМ. Двійковий суматор. Однорозрядний двійковий суматор. Шифратор і дешифратор.

Нехай - елементи в схемі, тоді всій релейно-контактній схемі ставиться у відповідність булева функція , яку ще називають функцією провідності. Якщо при деякому наборі через схему проходить електричний струм, то булевій функції ставлять у відповідність 1, якщо струм не проходить – 0. В послідовному з’єднанні елементів в схемі відповідає , а паралельному - .

Двійковий суматор

Всі числа в ЕОМ зберігаються у двійковій системі числення у пам’яті порозрядно. Додавання у двійковій системі числення здійснюється за правилами: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10.

Згідно даних правил додавання здійснюється методом додавання відповідних розрядів. Коли відбувається переповнення розряду (1+1) елемент переноситься у наступний розряд, тобто процес додавання характеризується двома функціями: S(x,y), P(x,y).

S(x,y) – являє собою додавання елементів в одному розряді і запис результату в тому ж розряді.

P(x,y) – це перенос елементу з одного розряду в інший.

Для даних функцій побудуємо таблицю істинності:

x	y	S(x,y)	P(x,y)
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

За даними з таблиці істинності побудуємо досконалу диз’юнктивну нормальну форму:

Однорозрядний двійковий суматор

При додаванні двох елементів у першому розряді ми додаємо елементи порозрядно, і тільки в деяких випадках здійснюється перенос в інший розряд. Але якщо здійснюється додавання в другому розряді і вище, крім елементів даного розряду, ще може бути елемент, який перенісся при додаванні з попереднього розряду. Тобто наша сума S_k залежить не тільки від елементів x_k і y_k, які додаються, а і від функції , тобто . Аналогічно . Для даних функцій будуємо таблицю істинності.

xk	yk	Pk-1	Sk	Pk
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

Для даних функцій будуємо досконалі ДНФ.

Побудувавши схему для кожного розряду і здійснивши належне їх з’єднання можна отримати багаторозрядний двійковий суматор.

Шифратор здійснює переведення з десяткової системи числення у двійкову. Дешифратор навпаки. Запишемо відповідність між двійковою та десятковою системами числення.

десятковою	двійковою
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001

Ми отримали змінні і для них відповідні булеві функції

x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	f8	f4	f2	f1
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1
0										0	1	0	0
										0	1	0	1
										0	1	1	1
										1	0	0	0

З даної таблиці можна побудувати досконалу ДНФ для булевих функцій .