1. Висловлювання і операції над ними. Класифікація формул алгебри висловлювань. Основні тавтології алгебри висловлювань. Логічна рівносильність в алгебрі висловлювань

Висловлювання та операції над висловлюванням.

Висловлювання позначають латинськими буквами. Висловлювання можуть приймати два значення (істинність та хибність): або , де λ - функція істинності, яка вказує логічне значення висловлювання.

Операції над висловлюваннями:

Заперечення висловлювання А називається висловлювання, яке приймає значення істинність, якщо А хибне, і прийматиме значення хибність, якщо А істинне. Позначається .

Диз’юнкцією двох висловлювань А і В називається висловлювання, яке приймає значення хибність в тому випадку, коли висловлювання А і В одночасно хибні і приймає значення істинність в інших випадках. Позначається .

Кон’юнкцією двох висловлювань А і В називається висловлювання, яке приймає значення істинність тільки в тому випадку, коли А і В одночасно істинні, в інших випадках приймає значення хибність. Позначається .

Імплікація двох висловлювань А і В називається висловлювання, яке приймає значення істинність у всіх випадках, крім того коли перше висловлювання істинне а друге висловлювання хибне. Позначається .

Еквіваленцією двох висловлювань А і В називається висловлювання, яке приймає значення істинність, коли обидва висловлювання або істинні, або хибні одночасно і прийматиме значення хибність в інших випадках. Позначається .

Пріоритет операцій визначається в наступній послідовності:

Класифікація формул алгебра висловлювань.

Всі формули алгебри висловлювань можна поділити на такі типи: виконувані, тотожно істинні або тавтології, спростовуючі, тотожньо хибні або суперечності.

Формула F(x₁,x₂,...,x_n) називається виконуваною, якщо існує такий набір значень α₁, α₂, ..., α_n при підстановці яких у формулу замість x₁, x₂, ..., x_n наша формула перетвориться у тотожне висловлювання.

Приклад: – не є виконуваною.

1	0	0
0	1	0

Формула F(x₁,x₂,...,x_n) називається тавтологією або тотожно істинною, якщо при будь-яких наборах α₁, α₂, ..., α_n формула перетвориться у істинне висловлювання. Позначається |=.

Приклад: – тавтологія.

1	0	1
0	1	1

Формула F(x₁,x₂,...,x_n) називається спростовуючою, якщо існує такий набір значень α₁, α₂, ..., α_n що при підстановці цих значень у формулу ми отримуємо хибне висловлювання.

Формула F(x₁,x₂,...,x_n) називається тотожно хибною або суперечністю, якщо для будь-якого набору α₁, α₂, ..., α_n ми отримуємо хибне висловлювання.

Основні тавтології.

закон виключення третього: _,закон заперечення протиріччя:

закон подвійного заперечення: _,закон контрапозиції:

Властивості диз’юнкції і кон’юнкції

закон ідемпотентності: _,закон комутативності:

закон асоціативності: _,

закон дистрибутивності:

закон поглинання: _,

закон де Моргана:

Властивості імплікації і еквівалентності

1. _,2. _,3. _,4. _,5. _,6. _,7.

8._,9. _,10.

Теорема: Якщо формули є тавтологіями, то формула Н є також тавтологією.

Теорема: Якщо формула F(x) є тавтологією, то після заміни замість змінної х формулою Н отримана формула також буде тавтологією.

Логічна рівносильність.Формули називаються рівносильними, якщо при будь-якому наборі α₁, α₂, ..., α_n, які підставляються замість x₁,x₂,...,x_n значення даних формул співпадають. Позначають .

Теорема: Формули F і H є рівносильними, якщо формула є тавтологією.

Для рівносильності характерні наступні властивості:

1. симетричність

2. рефлексивність

3. транзитивність

_2. Диз’юнктивна та кон’юнктивні нормальні форми алгебри висловлювань. . Диз’юнктивні та кон’юнктивні нормальні форми алгебри висловлювань.

Будь-яку формулу алгебри висловлювань можна подати у вигляді логічних зв’язків заперечення, кон’юнкції чи диз’юнкції. Кон’юнктивним одночленом від змінних x₁, x₂, ..., x_n називається кон’юнкція цих змінних та їх заперечень. Приклад:.

Диз’юнктивним одночленом від змінних x₁, x₂, ..., x_n називається диз’юнкція цих змінних та їх заперечень. Приклад: .

Диз’юнктивною нормальною формою називається диз’юнкція кон’юнктивних одночленів.Кон’юнктивною нормальною формою називається кон’юнкція диз’юнктивних одночленів.Будь-яку формулу алгебри висловлювань можна подати у вигляді багатьох диз’юнктивних та кон’юнктивних форм.

Одночлен (диз’юнктивний або кон’юнктивний) називається досконалим, якщо він з пари змінних ( і=1..n) містить тільки одну букву або змінну.

Нормальна (диз’юнктивна або кон’юнктивниа) форма називається досконалою, якщо в неї входять тільки досконалі одночлени від змінних x₁,, ..., x_n.