2

13

Практичне заняття № 2. Лінійна залежність та незалежність векторів. Базис. Координати вектора.

Основні теоретичні факти.

Нехай задані вектори та числа . Вектор називається лінійною комбінацією векторів . Також кажуть, що вектор лінійно виражається через вектори .

Якщо рівність можлива при деяких ненульових коефіцієнтах, то вектори називають лінійно залежними. Якщо ж дана рівність виконується тільки при нульових коефіцієнтах, то вектори називають лінійно незалежними.

Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли один із них є лінійною комбінацією інших.

Якщо серед векторів є нульовий вектор, то ці вектори лінійно залежні.

Якщо деяка система векторів містить лінійно залежну підсистему, то ці вектори лінійно залежні.

Два вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Три вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

Будь-які чотири геометричні вектори лінійно залежні.

Упорядковану множину векторів називають базисом множини векторів , якщо дані вектори лінійно незалежні, а також будь-який вектор множини лінійно виражається через вектори множини .

У просторі компланарних векторів з деяким базисом довільний вектор можна єдиним способом представити у вигляді . Коефіцієнти біля базисних векторів називають координатами вектора відносно базису . Записують або .

У випадку векторного простору не компланарних векторів та деякого його базису для довільного вектора його координати аналогічно визначаються, як коефіцієнти біля базисних векторів у рівності . Записують або .

Два вектори, задані своїми координатами, рівні тоді і тільки тоді, коли їхні відповідні координати рівні.

Додавання та віднімання векторів, а також множення векторів на числа здійснюється виконанням відповідних операцій над координатами векторів. Тобто, для довільних векторів та

,

,

, - деякий числовий множник.

Два вектори, задані своїми координатами, колінеарні тоді і тільки тоді, коли їхні координати пропорційні.

Базис називають прямокутним декартовим або ортонормованим, якщо вектори базису одиничні та взаємно перпендикулярні. Щоб відрізняти ортонормовані базиси від інших використовують позначення базисних векторів у виді . Отже, базис - прямокутний декартовий, якщо та . У просторі ортонормованим буде базис .

Довжину вектора в ортонормованому базисі можна обчислювати за допомогою співвідношення . Довжина вектора в ортонормованому базисі обчислюється за формулою .

Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Задано вектори , , . Довести, що вони утворюють базис. Розкласти вектор за даним базисом.

Розв’язання. Розглянемо векторну рівність . Прирівнюючи координати векторів у лівій та правій частині рівності, отримуємо систему однорідних лінійних рівнянь , визначник якої . Тому система має тільки нульовий розв’язок. Отже, дані вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Із векторної рівності дістаємо систему координатних рівностей , розв’язуючи яку, знаходимо .

Таким чином, .

Задача 2. Знайти лінійну залежність між векторами , , , .

Розв’язання. Нас цікавить хоча б один ненульовий набір коефіцієнтів у векторній рівності . Переходячи до координатних рівностей, одержуємо систему однорідних лінійних рівнянь , яка, як відомо із курсу лінійної алгебри, має безліч розв’язків. Одним із них є розв’язок . Відповідь отримуємо у виді рівності .

Задача 2. У трикутнику на сторонах і вибрано точки та так, що , а також проведено відрізки і , які перетинаються у точці . У якому відношенні точка ділить дані відрізки?

Розв’язання. Нехай , (рис. 1). Оскільки , то . Виразимо всі вектори в одержаній векторній рівності через та .

, .

Отже, .

Оскільки вектори та лінійно незалежні, то, прирівнюючи коефіцієнти біля цих векторів в обох частинах рівності, дістаємо систему рівнянь

,

розв’язуючи яку, знаходимо . Отже, .

Відповідь. .

Задача 3. Задано правильний шестикутник . Нехай. Знайти координати векторів та у базисі .

Розв’язання. Нехай - центр кола, описаного навколо заданого шестикутника (рис. 2). Очевидно, що

,

а також, що . Тому

,

.

Відповідь. .

Задача 4. Довести, що відрізки, які сполучають вершини трикутної піраміди з центрами протилежних граней, перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні 3:1, рахуючи від вершини.

Розв’язання . Нехай - задана піраміда і , точки та - точки перетину медіан відповідно трикутників і , точки належать відрізкам та , причому . Покажемо, що у базисі координати векторів та співпадають. Маємо

,

де - середина відрізка . Отже, у базисі вектор має координати . Дальше знаходимо

,

тобто . Таким чином, , а це означає, що точки та співпадають.

Задача 5. У трапеції з основами відомо, що . Обчислити координати вектора у базисі , якщо - точка перетину діагоналей трапеції, (рис. 3).

Розв’язання. Із трикутника знаходимо

.

Оскільки трикутники та подібні, то

,

звідки . Тому

.

Коефіцієнти біля векторів та дозволяють отримати відповідь: .

Задачі для самостійного розв’язання.

1. Вектори та лінійно незалежні. Визначити, при якому значенні параметра будуть лінійно залежними вектори та ?

.

2. Довести, що для будь-яких векторів вектори , та лінійно залежні.

3. У трикутнику на сторонах і вибрано точки та так, що , а також проведено відрізки і , які перетинаються у точці . У якому відношенні точка ділить дані відрізки?

4. У трикутнику вектори та напрямлені по медіанах. Виразити їх через вектори і

5. Нехай - довільний трикутник, і - середини сторін та . Виразити вектори , через і

6. Нехай - правильний шестикутник, точка - його центр. Покладемо та Виразити вектори через вектори та

7. У паралелограмі на стороні вибрана точка така, що . У якому відношенні ділить діагональ точка її перетину з відрізком ?

8. У паралелограмі на діагоналі вибрана точка така, що . У якому відношенні ділить сторону точка її перетину з прямою ?

9. У паралелепіпеді точки - середини ребер , та відповідно (рис.4). Виразити вектори через вектори .

10. Н

    Рис. 4

    ехай - паралелограм, і - середини протилежних сторін і , а точка - точка перетину діагоналей. Прийнявши вектори та за базисні визначити координати векторів

11. Дано . Прийнявши за базисні вектори , де - середина і , де - середина , виразити через них вектори та

12. Дано трикутник ОАВ. Сторона АВ поділена точкою Р у відношенні АР:РВ=m:n. Розкласти вектор ОР за векторами та .

13. - правильний шестикутник. Вибравши вектори і за базисні, виразити через них вектори , та .

14. На векторах , та побудовано паралелепіпед. Точка М - центр грані, яка проходить через точку С паралельно до векторів і . Розкласти вектор за векторами , та .

15. Дано - чотири довільні точки простору. Прийнявши за базисні вектори , та виразити через них вектор де - середина , - середина

16. У трикутнику проведені медіана і середня лінія , яка паралельна стороні . Прямі і перетинаються у точці . Знайти координати векторів прийнявши вектори і за базисні.

17. Вектори і співпадають з сторонами трикутника . Визначте координати векторів , та , які співпадають з медіанами трикутника.

18. Серед векторів знайти лінійно залежні.

19. Визначити модулі суми і різниці векторів та .

20. При яких значеннях параметрів та вектори та будуть колінеарні?