3. Просторові криві лінії

Як вже відомо, точки просторової кривої не належать одній площині. Для аналізу просторової кривої використовують так званий просторовий тріедр, або тригранник Френе, рис. 10. На цьому рисунку зображено відрізок просторової кривоїABта його горизонтальна проекціяA₁B₁.ТочкуC відрізка кривої суміщено з початком координат. Уявімо тепер дві точки на кривій, що лежать по обидві боки від точкиC. Як відомо, через три точки можна провести єдину площину. Нехай ці точки прямують до точки Cз обох боків. Тоді в граничному положенні, коли ці точки будуть нескінченно близькими до точкиC, через них пройде площина S, що найбільш щільно прилягає до кривої в точціC.Таку площину називають стичною, в ній лежать як дотична до плоскої кривоїt, так і головна нормаль до неїn₁. У диференціальній геометрії доведено, що крива в околі точки стику лежить по обидва боки від стичної площини. Вертикальну площинуL, перпендикулярну до стичної площини, що проходить через нормальn₁, називають нормальною. У цій площині лежить як головна нормаль n₁, так і бінормальn₂, перпендикулярна в точці C до стичної площини. Третю площинуG, перпендикулярну до перших двох, називають спрямною. Вона визначається дотичною t та бінормаллюn₂.

Рис. 10

В кожній точці просторової кривої (за винятком деяких особливих точок) можна провести єдину дотичну, як і до плоскої кривої. Просторові криві лінії визначаються кількістю параметрів п+6, де п – кількість параметрів форми, яке у різних кривих різне.

4. Прямокутні проекції кривих ліній та їх властивості

Прямокутною проекцією кривої лінії називається множина (геометричне місце) однойменних проекцій точок цієї лінії. На рис. 11 зображені горизонтальна a₁ та фронтальна a₂ проекції кривої лінії a. Оскільки отримана проекція належить площині проекцій, то проекції плоских і просторових кривих – завжди плоскі лінії.

Прямокутні проекції кривих ліній мають певні властивості.

В загальному випадку проекції кривих ліній - криві лінії.

Вокремому випадку проекція плоскої кривої на площину проекцій може бути прямою лінією, якщо площина лінії перпендикулярна цій площині проекцій.

Точка належить (інцидентна) кривій лінії, якщо її проекції належать однойменним проекціям кривої лінії та сполучені однією лінією проекційного зв’язку. Так за рис. 11 точки A,B,C належать лінії a.

Рис. 11 Дотична t до кривої a у звичайній точці C проекціюється в дотичні t₁ та t₂ до проекцій кривої a₁ та a₂ в проекціях цієї точки C₁ та C₂ , рис. 11.

Нормаль nта дотична t до кривої в заданій точці в загальному випадку є сторонами прямого кута, непаралельними площинам проекцій. Тому в загальному випадку їх однойменні проекції не перпендикулярні одна до одної.

Якщо точки перетину однойменних проекцій кривих ліній належать одній лінії проекційного зв’язку, то ці криві лінії взаємно перетинаються.

4.1. Проекції плоских кривих на прикладі кола

В залежності від розташування площини, якій належить (або яку утворює) коло, можна розглядати три випадки. Два окремих (для площин рівня та проекціюючих) та один загальний.

1. Площина кола в положенні площини рівня, паралельній площині проекцій П₁, або П₂, або П₃.

Якщо площина кола займає положення площини рівня, рис. 12, тоді проекція кола на ту площину проекцій, по відношенню до якої вона не паралельна, є пряма лінія, перпендикулярна до відповідної лінії проекційного зв’язку. Проекція на паралельну площину проекцій – коло в натуральну величину.

2. Площина кола в проекціювальному положенні, перпендикулярна площині проекцій П₁, або П₂, або П₃.

Якщо площина кола перпендикулярна до площини проекцій, рис. 13, то його проекція на цю площину проекцій є похилим відрізком прямої. А на інші площини проекцій коло проекціюється з спотворенням в еліпси.

а б в

Рис. 12

а б в

Рис.13

3. Площина кола в загальному положенні.

Прямокутні проекції кола, площина якого займає у просторі загальне положення, є еліпсами. На рис. 14 показано побудову комплексного креслення кола a радіусом R, яке належить площині загального положення . Центр колаO співпадає з точкою перетину прямих f та h.

Спочатку побудовані особливі точки обох еліпсів: 1₁, 2₁, 5₁, 7₁ та 3₂, 4₂, 9₂, 10₂.

1. На фронтальній проекції фронталі f₂ і на горизонтальній проекції горизонталі h₁ відкладено натуральні величини радіусів R і одержано відповідно проекції точок 3₂, 4₂ та 1₁, 2₁. Визначено великі осі обох еліпсів. Побудовано їх другі проекції 3₁, 4₁, 1₂, 2₂.

2. Через точку 4₁ проведено площину S₁ перпендикулярно до горизонтальної проекції горизонталіh₁. З’єднано точку з точкоюO₁.

3. Паралельно S₁ побудовано площину D₁ через O₁.

4. Паралельнопроведено пряму із точкидо перетину з горизонтальною проекцією горизонталіh₁. З точки перетину проведено пряму b₁ паралельно до горизонтальної проекції фронталі f₁. Відрізок - шукана мала ось еліпса, який є горизонтальною проекцієюa₁ кола a.

5. Через точку 1₂ перпендикулярно до фронтальної проекції фронталі f₂ побудовано площину L₂. З’єднано точку зO₂.

6. З точки 1₂ паралельно до фронтальної проекції фронталі f₂ проведено

Рис.14 пряму до перетину з лінією O₂. Через отриману точку радіусомO₂побудовано коло. ЧерезO₂ проведено площину W₂ перпендикулярно до фронтальної проекції фронталі f₂. Таким чином - шукана мала ось еліпса, який є фронтальною проекцією колаa₂.

Звичайні точки для кожного еліпса побудовано за допомогою малої та великої осей.

Наприкінці точки кожного еліпса послідовно з’єднано між собою плавною замкненою кривою лінією, виконаною за допомогою лекала.