2.5. Параметризація кривих

Форма кривої визначається параметрами форми, а її положення - параметрами положення.

Рис.6Крива другого порядку в загальному випадку визначається п’ятьма параметрами. До них належать як параметри форми, так і параметри положення. На рис. 7 зображено в декартовій системі координат еліпс. Для його визначення потрібні три параметри положення (два параметри m, n визначають центр еліпса A, та один параметр a – кут нахилу великої осі еліпса до осі Оx) і два параметри форми a, b ( осі

Рис.7 еліпса). Для задання коладостатньо трьох параметрів. Щоб задати гіперболу потрібно п’ять параметрів, для задання параболи - чотирьох.

2.6. Криві другого та вищих порядків

Закономірні криві лінії другого порядку (коло, еліпс, парабола, гіпербола) найширше застосовують при конструюванні виробів криволінійної форми. Це пояснюється простотою їх побудови і аналітичного виразу, а також відсутністю на них більшості особливих точок. Такі криві ще називають конічними перерізами, оскільки їх можна одержати при перерізі прямого конуса обертання площиною, рис. 8. Залежно від положення січної площини відносно елементів конуса (ось обертання i, прямі твірні лінії, основа) в перерізі утворюються такі фігури:

Рис. 8.

• коло, якщо січна площина перпендикулярна осі обертання конуса i, тобто паралельна його основі, рис. 8а;

• трикутник, якщо січна площина проходить через вершину конуса, рис. 8б;

• еліпс, якщо січна площина не паралельна жодній твірній, тобто перетинає всі твірні конуса, рис. 8в;

• парабола, якщо січна площина паралельна будь-якій одній твірній конуса, рис. 8г;

• гіпербола, якщо січна площина паралельна осі обертання конуса i, тобто двом його твірним, рис. 8д.

Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох даних точок F₁ , F₂ (фокусів) є величиною сталою і дорівнює 2а, рис. 9а. Відстань між фокусами 2с називається фокусною. Рівняння еліпса (2) має вигляд:

, (2)

де .

Рис.9.

Гіперболою зветься множина точок площини, різниця відстаней яких до двох даних точок F₁ , F₂ (фокусів) є величиною сталою і дорівнює 2а, рис. 9б. Точки A₁ і A₂ – вершини гіперболи. Вона має дві осі (x - дійсна, y - уявна) та дві асимптоти – прямі, на яких лежать невласні точки гіперболи. Рівняння гіперболи (3):

, (3)

де .

Параболою називається крива, кожна точка якої розміщена на однаковій відстані від заданої прямої (директриси) і від фокуса F, рис. 9в. Рівняння параболи (4) в декартових координатах:

, (4)

де P – відстань від фокусаF до директриси – параметр її форми.

Колом називається множина точок площини, кожна з яких рівновіддалена від однієї точки, яка називається центром. Відстань від центра до кожної точки називається радіусом R кола. Рівняння кола (5) в прямокутній системі координат, початок якої суміщено з центром кола має вигляд:

, (5)

де R – радіус кола– параметр його форми.

Для задання алгебраїчної кривої третього порядку потрібно дев’ять параметрів, для кривої четвертого порядку - чотирнадцять.