2. Плоскі криві лінії

2.1. Січна, дотична та нормаль

Для дослідження властивостей кривої користуються такими прямими лініями, як січна, дотична та нормаль.

Січною називають пряму лінію, що перетинає криву лінію мінімум в двох точках. Якщо точку В наближати до точки А вздовж кривої лінії, рис.1, то січна m переміщатиметься. Коли точка B зіллється з точкою А, січна m стане дотичною t до кривої в заданій точці. Точка A називається точкою дотику. Перпендикуляр n до дотичної t в точці дотику A називають нормаллю кривої в заданій точці.

Рис.1

2.2. Кривина та радіус кривини

Крива лінія в кожній точці має певне викривлення, мірою якого є кривина. Кривиною плоскої кривої a у точці B називають величину k, обернену до радіуса R кола, проведеного через три нескінченно близькі точки А, B, C кривої лінії, рис.2. Саме коло називають кругом кривини, його центр O - центром кривини кривої у точці B, його радіус R - радіусом кривини. Кривина дорівнює:

, (1)

де k - кривина плоскої кривої,

R - радіус кривини.

Рис.2

2.3. Звичайні та особливі точки

Точка кривої лінії, яка за своїми властивостями не відрізняється від більшості інших точок кривої, є звичайною.

Звичайна точка має такі ознаки:

1. окіл звичайної точки є єдиною неперервною лінією;

2. у звичайній точці крива має тільки одну дотичну;

3. точка, що рухається вздовж кривої, до і після звичайної точки має єдиний напрям руху, а дотична в цій точці має певний напрям обертання навколо неї.

Крім звичайних, розрізняють особливі точки, в яких кривина має найбільше (найменше) значення, або порушуються властивості дотичної до кривої. Наприклад, найбільшу кривину еліпс має на кінцях A, B великої осі, а найменшу – на кінцях C, D малої осі, рис.3а; кривина дорівнює нулю в так званій точці перегину М, рис.3б.

Рис. 3.

До особливих точок належать також:

• точка перегину, в якій дотична змінює напрям обертання, рис. 4а;

• точка звороту першого роду (вістря), в якій напрям руху точки вздовж кривої змінюється на протилежний, а напрям обертання дотичної не змінюються, рис. 4б;

• точка звороту другого роду (дзьоб), де напрям руху точки вздовж кривої і напрям обертання дотичної змінюються на протилежний, рис. 4в;

• точка самодотику (повторення), де крива кілька разів дотикається до однієї прямої, рис. 4г;

• вузлова (подвійна) точка, в якій крива сама себе перетинає і має дві або більше дотичних, рис. 4д;

• точка злому, де порушується плавність кривої, рис. 4е.

Рис. 4.

2.4. Еволюта та евольвента

Множина нормалей до плоскої кривої a в точках N_i утворює в’язку, обвідною якої є крива b, яку називають еволютою, рис.5. Крива a відносно своєї еволюти b називається евольвентою. На еволюті b плоскої кривої a розміщена множина центрів кривини M_i кривої a. Дотичні до

Рис. 5.

еволютиb є нормалями у відповідних точках N_i евольвенти a. Одній еволюті b відповідає множина евольвент a. Ці криві, особливо евольвенти кола, мають широке використання у технічних формах, зокрема профілі зубців зубчатих передач мають форму евольвенти кола, рис.6.