4. Понятие определителя n-го порядка.

Пусть имеется матрица n-го порядка

а12 а22 … а2j …а2n

… … … … … …

ai1 ai2 … aij … ain

… … … …. … …

an1 an2 … anj … ann (1)

n≥2

Минором элемента aij матрицы (1) назовем определитель n-1-го порядка, соответствующий матрице, полученной из матрицы (1) вычеркиванием i-той строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением Аij элемента aij матрицы (1) наз. Произведением множителя (-1)^ij на минор Мij, т.е.

Определителем n-го порядка матрицы (1) наз. число, равное сумме произведений элементов1 строки матрицы (1) наих алгебраическое дополнение

Формула (2) наз. Разложением определителя по 1-ой строке.

Теорема Лапласа

Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Формула (3) наз. Разложением определителя по i-той строке.

Формула (4) наз. Разложением определителя по j-тому столбцу.

Значение теоремы Лапласа состоит в том, что она сводит вычисление определителя n-го порядка к вычислению более простых определителей n-1-го порядков.

5. Ранг матрицы.

Рангом матрицы А (обозначение rangA) называ­ется наибольшее натуральное число k, для которого существует не рав­ный нулю определитель k-то порядка, порожденный матрицей А.

Выделим в матрице А k строк и k столбцов, где k ≤ т, п (размерность м. А). Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образу­ют квадратную матрицу, которая порождает определитель k -гo поряд­ка.

Определитель порядка k, составленный из элементов стоящих на пересечении выделенных k строк и k столбцов наз. минором или определителем порожденным матрицей А.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется, если:

1. поменять местами любые два парал. ряда

2. умножить каждый элемент ряда на один и тот же не нулевой множитель

3. прибавить к элементам ряда соответствующие элементы другого парал. ряда, умноженные на один и тот же множитель.

Такие преобразования наз. эквивалентными.

Две матрицы наз. эквивалентными, если одна матрица получена из другой с помощью эквивалентных преобразований (А~В).

6. Обратная матрица.

Если определитель матрицы А, равен нулю, то матрица А называется вырожденной, в противном случае матрица А называется невырожденной.

Если А — квадратная невырожденная матрица, то обратной для нее матрицей назы­вается матрица, обозначаемая А^-1 и удовлетворяющая условиям:

А•А^-1= А^-1•А = Е, где Е— единичная матрица.

Для невырожденной матрицы А всегда сущ. Единственная обратная матрица А^-1 , кот. определяется формулой:

А^-1 = × A*,

А =

Где матрица А* назыв. присоединённой.

А* =

A_ij – алгебраическое дополнение элемента a_ij матрицы А.

A_ij = (-1) ^i+j × M_ij