1. Понятие матрицы.

Прямоугольная таблица составленная из mxn элементов a_ij, где i==1,2,3,…,m, j= некоторого множества называется матрицей и записывается в виде:

A=

Элементы матрицы нумеруются 2-мя индексами:

1. i – означает номер строки

2. j – номер столбца

на пересечении которых стоит элемент.

Если у матрицы m строк и n столбцов, и говорят, что её размерность mxn. (А_mxn)

Матрицы наз. равными, если они имеют одинаковую размерность и все их соответствующие элементы равны.

А_mxn= В_mxn, если a_ij=b_ij

Если в матрице число строк равно числу столбцов (т = п), то такую матрицу называют квадратной, причем число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.

Если m=1 получается матрица-строка (вектор-строка). Если n=1 – матрица-столбец (вектор-столбец).

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. (А_1х1)

Квадратная матрица, у кот. все элементы, кроме элементов a_ij, равны нулю наз. диагональной (элементы a_ij могут быть равны, где i=1,n, при этом элементы a_ij составляют главную диагональ кв. матрицы, а вторая диагональ наз. побочной).

Диагональная матр., у кот. все элементы на главной диагонали равны 1, наз. единичной матрицей (Е).

Матрица, у кот. все элементы равны 0, наз. нулевой (О).

2. Операции над матрицами.

1) Сложение матриц. Матрицы одинакового размера можно склады­вать.

Суммой двух таких матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Так, если

то их суммой является матрица

2) Произведение матрицы на число. Произведением матрицы А на число А, называется матрица В, элементы которой равны произведению числа λ на соответствующие элементы матрицы А. (b_ij= λ • a_ij). Отсюда следует, что при умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица.

3) Произведение матриц А_mxn и В_nxp назыв. матрица С размерности С_mxp, каждый элемент которой c_ij = a_i1 • b_ij + a_i2 • b_2j + a_i3 • b_3j + a_in •b_nj.

Если АВ=ВА, то матрицы А и В наз. перестановочными или коммутирующими.

3. Определители второго и третьего порядков и их свойства.

Понятие определителя тесно связано с решением систем линейных уравнений.

Определителем 2-го порядка или определителем матрицы А 2-го порядка наз. Определитель |А|, который вычисляется по формуле:

Таким образом, определитель 2-го порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Определитель матрицы А 3-го порядка или определителем 3-го порядка наз. число |А|, который вычисляется по формуле:

Для облегчения запоминания этой формулы исп-ется правило треугольников.

+ -

Основные свойства определителей:

1)если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из нулей, то ее определитель равен 0.

2) если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на одно и тоже число α, то ее определитель умножится на число α.

3) при транспонировании матрицы ее определитель не изменится.

4) при перестановке местами двух строк (столбцов) ее определитель меняет на знак противоположный.

5) если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны (равны), то ее определитель равняется 0.

6) определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженное на одно и тоже число.