- •Введение
- •I. Линейная алгебра
- •1.Матрицы и определители
- •1.1. Основные сведения о матрицах
- •1.2. Операции над матрицами
- •4) Свойства операций над матрицами:
- •1.3. Определители квадратных матриц
- •Свойства определителей.
- •1.4. Обратная матрица
- •1.5. Ранг матрицы
- •2. Системы линейных уравнений
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Метод Крамера
- •2.3. Метод обратной матрицы
- •2.4. Метод Гаусса
- •Вопросы и упражнения для самопроверки.
- •II. Введение в математический анализ
- •1. Множества. Отображение. Функция
- •Вопросы и упражнения для самопроверки
- •2. Пределы и непрерывность функции
- •Свойства бесконечно малых величин.
- •Свойства бесконечно больших величин.
- •Свойства функций, непрерывных в точке:
- •Вопросы и упражнения для самопроверки.
- •III. Дифференциальное исчисление
- •1 Производная
- •1.1. Понятие производной
- •1.2. Производная сложной функции
- •1.3. Формулы дифференцирования
- •1.4. Геометрический смысл производной
- •1.5. Физический смысл производной
- •1.6. Вторая производная
- •1.7. Физический смысл второй производной
- •2. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Пример 16. Вычислить предел
- •3. Приложения производной
- •3.1. Условие возрастания и убывания функции. Экстремум функции
- •3.2. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •3.3. Вогнутость. Точки перегиба
- •3.4. Асимптоты графика функции
- •3.5. Общая схема исследования функций
- •Вопросы и упражнения для самопроверки.
- •4. Дифференциал функции. Функции нескольких переменных
- •4.1. Понятие дифференциала функции
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Частный дифференциал и полный дифференциал
- •Вопросы и упражнения для самопроверки.
- •IV. Интегральное исчисление
- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Понятие неопределенного интеграла. Свойства
- •Свойства неопределенного интеграла
- •1.2. Основные формулы интегрирования
- •1.3. Метод подстановки
- •Вопросы и упражнения для самопроверки.
- •2. Определенный интеграл
- •2.1. Понятие определенного интеграла. Свойства
- •Основные свойства определенного интеграла.
- •2.2. Непосредственное вычисление определенного интеграла
- •2.3. Вычисление определенного интеграла методом подстановки
- •3. Приложения определенного интеграла
- •3.1. Площади плоских фигур
- •3.2 Объемы тел вращения
- •Вопросы и упражнения для самопроверки.
- •Литература
- •Содержание
- •I. Линейная алгебра 4
- •II. Введение в математический анализ 21
- •III. Дифференциальное исчисление 29
- •IV. Интегральное исчисление 56
2. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ферма: Если функция y=f(x) определена и дифференцируема на интервале (a,b) и достигает в точке с(a,b) своего наибольшего или наименьшего значения, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е.
Геометрический смысл теоремы Ферма заключается в том, что касательная параллельна оси Ох.
Теорема Ролля: Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема х(a,b) и f(a)=f(b), тогда существует точка х=с(a,b), в которой
Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что в (a,b) найдется точка, в которой касательная параллельна оси Ох (угловой коэффициент обращается в ноль).
Теорема Лагранжа: Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема х(a,b), тогда существует точка х=с(a,b), такая, что выполняется условие
Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что на любой дуге гладкой кривой найдется точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей дугу.
Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.
Теорема Коши: Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны, определены на отрезке [a,b] и дифференцируемы х(a,b). Пусть также тогда существует точка х=с(a,b), такая, что для нее выполняется условие .
Правило Лопиталя: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0 (за исключением, быть может, ее самой), причем . Тогда еслиили, то
при условии, что предел правой части существует. Это правило применимо и в том случае, когда x.
Пример 16. Вычислить предел
Решение. Здесь имеет место неопределенность вида . Применяем правило Лопиталя.
3. Приложения производной
3.1. Условие возрастания и убывания функции. Экстремум функции
Условие постоянства функции: Дифференцируемая функция y=f(x) постоянна на промежутке Х тогда и только тогда, когда f (x) = 0 внутри X.
Условие возрастания функции: Дифференцируемая функция y=.f(x) монотонно возрастает на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее производная не отрицательна внутри этого промежутка: f (x) 0, причем производная f' (x) обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри промежутка X.
Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно возрастающей функции образуете положительным направлением оси Ох острый угол или параллельна ей.
Условие убывания функции: Дифференцируемая функция y=f(x) монотонно убывает на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее производная не положительна внутри этого промежутка: f (x) 0, причем производная f' (x) обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри X.
Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно убывающей функции образует с положительным направлением оси Ох тупой угол или параллельна ей.
Экстремумы функции. Говорят, что функция y=f(x) имеет максимум в точке х1 (рис. 26), если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к x1, т.е. если f(x1+х) < f (х1) для любых х, как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых по модулю. Таким образом, x=x1 точка максимума, a yмах = f (x1) максимум функции.
Говорят, что функция y = f (x) имеет минимум в точке х2, если значение функции в этой точке меньше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к х2, т.е. если f (х2+х) > f (x2) для любых х, как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых по модулю. Таким образом, х=х2 точка минимума, а уmin = f (x2) минимум функции.
Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум. Значение функции в этой точке называется экстремальным.
Замечание: Следует помнить: 1) что максимум (минимум) не является обязательно наибольшим (наименьшим) значением, принимаемым функцией; 2) функция может иметь несколько максимумов или минимумов; 3) функция, определенная на отрезке, может достигать экстремума только во внутренних точках этого отрезка.
Необходимое условие экстремума: Если функция y=f(x) имеет экстремум при х=х0, то ее производная. в этой точке равна нулю или бесконечности либо вовсе не существует, при этом сама функция в точке х0 определена.
Из этого следует, что точки экстремума функции следует разыскивать только среди тех, в которых ее первая производная равна нулю, или бесконечности, или не существует. Эти точки называются критическими точками I рода.
Этот признак экстремума является только необходимым. Поэтому, определив критические точки I рода, надо каждую из них в отдельности исследовать на основании достаточных условий экстремума.
Первое достаточное условие существования экстремума функции: Пусть точка х = х0 является критической точкой 1 рода функции y=f(x), а сама функция дифференцируема во всех точках некоторого промежутка, содержащего эту точку (за исключением, возможно, самой этой точки). Тогда:
1) если при переходе слева направо через критическую точку 1 рода х=х0 первая производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция достигает максимума, т.е. х=х0 точка максимума, ymax = f (x0);
2) если при переходе слева направо через критическую точку 1 рода х=х0 первая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция достигает минимума, т. е. х=х0 точка минимума, ymin = f (х0);
3) если при переходе через критическую точку 1 рода первая производная не меняет знака, то в этой точке экстремума нет.
Для исследования функции на экстремум по первой производной следует:
1. Найти область определения функции.
2. Найти первую производную функции и критические точки 1 рода.
3. Отметить границы области определения и критические точки 1 рода на числовой прямой.
4. Исследовать знак производной в каждом из полученных интервалов.
5. Выписать точки экстремума и вычислить экстремумы функции.
Пример 17. Найти экстремумы функции у= (1-х2)3.
Решение. 1. Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. хR.
2. Функция имеет производную всюду, поэтому определяем критические точки из условия f (x)=0. Находим производную:
у = 3(1-х2)2 (1-х2) = 3(1-х2)2 (-2х) = -6х (1-х2)2;
у = 0, -6х (1-х2)2 = 0, х1 = 0, х2 = -1, х3 = 1.
3. Отмечаем эти критические точки на числовой прямой.
4. Исследуем знак производной у' = -6х (1-х2)2 в каждом из полученных интервалов: у' (-2) > 0, у (-0,5) > 0, у(0,5) < 0, y (2) < 0.
5. Точка х=0 точка максимума, так как при переходе через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус: уmax = у(0) = l. Точки х = -1 и х = 1 не являются точками экстремума.
Второе достаточное условие существования экстремума функции: Если в точке х=х0 первая производная функции равна нулю (f' (х0) = 0), а вторая производная отлична от нуля, то х=х0 точка экстремума.
При этом если вторая производная в этой точке положительна (f”(x0) > 0), то х=х0 точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна (f"(х0) < 0), то х=х0 точка максимума.
Для исследования функции на экстремум по первой и второй производной следует:
1. Найти область определения функции.
2. Найти первую производную функции и стационарные точки, т. е. точки, в которых она обращается в нуль.
3. Найти вторую производную функции и исследовать ее знак в каждой стационарной точке.
4. Выписать точки экстремума и вычислить (если нужно) экстремумы функции.
Пример 18. Найти экстремумы функции f (x)=x3-3х2+1.
Решение. 1. Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. хR.
2. Функция имеет производную всюду, поэтому критические точки определяем из условия f'(x)=0:
f (x) =3x2-6x, f (x) = 0, 3x2-6x=0, 3x(x-2)=0, x1=0, x2=2.
3. Находим вторую производную функции f" (x) = 6х-6. Исследуем знак второй производной в каждой критической точке; f” (0) = -6 < 0; значит, х=0 точка максимума, уmax=у(0)=1;
f"' (2)=6>0, значит, х=2 точка минимума, ymin= у(2) =23-322+1 = 8-12+1 = -3.