- •Введение
- •I. Линейная алгебра
- •1.Матрицы и определители
- •1.1. Основные сведения о матрицах
- •1.2. Операции над матрицами
- •4) Свойства операций над матрицами:
- •1.3. Определители квадратных матриц
- •Свойства определителей.
- •1.4. Обратная матрица
- •1.5. Ранг матрицы
- •2. Системы линейных уравнений
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Метод Крамера
- •2.3. Метод обратной матрицы
- •2.4. Метод Гаусса
- •Вопросы и упражнения для самопроверки.
- •II. Введение в математический анализ
- •1. Множества. Отображение. Функция
- •Вопросы и упражнения для самопроверки
- •2. Пределы и непрерывность функции
- •Свойства бесконечно малых величин.
- •Свойства бесконечно больших величин.
- •Свойства функций, непрерывных в точке:
- •Вопросы и упражнения для самопроверки.
- •III. Дифференциальное исчисление
- •1 Производная
- •1.1. Понятие производной
- •1.2. Производная сложной функции
- •1.3. Формулы дифференцирования
- •1.4. Геометрический смысл производной
- •1.5. Физический смысл производной
- •1.6. Вторая производная
- •1.7. Физический смысл второй производной
- •2. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Пример 16. Вычислить предел
- •3. Приложения производной
- •3.1. Условие возрастания и убывания функции. Экстремум функции
- •3.2. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •3.3. Вогнутость. Точки перегиба
- •3.4. Асимптоты графика функции
- •3.5. Общая схема исследования функций
- •Вопросы и упражнения для самопроверки.
- •4. Дифференциал функции. Функции нескольких переменных
- •4.1. Понятие дифференциала функции
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Частный дифференциал и полный дифференциал
- •Вопросы и упражнения для самопроверки.
- •IV. Интегральное исчисление
- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Понятие неопределенного интеграла. Свойства
- •Свойства неопределенного интеграла
- •1.2. Основные формулы интегрирования
- •1.3. Метод подстановки
- •Вопросы и упражнения для самопроверки.
- •2. Определенный интеграл
- •2.1. Понятие определенного интеграла. Свойства
- •Основные свойства определенного интеграла.
- •2.2. Непосредственное вычисление определенного интеграла
- •2.3. Вычисление определенного интеграла методом подстановки
- •3. Приложения определенного интеграла
- •3.1. Площади плоских фигур
- •3.2 Объемы тел вращения
- •Вопросы и упражнения для самопроверки.
- •Литература
- •Содержание
- •I. Линейная алгебра 4
- •II. Введение в математический анализ 21
- •III. Дифференциальное исчисление 29
- •IV. Интегральное исчисление 56
Свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т. е.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:
1.2. Основные формулы интегрирования
Из каждой формулы дифференцирования вытекает соответствующая ей формула интегрирования. Например, из того, что следует равенство
Ниже приведена таблица основных интегралов:
Справедливость этих формул можно проверить дифференцированием.
Непосредственное интегрирование. Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Пример 1. Найти интеграл
Решение. Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем (а-m=1/ат, а0) и найдем неопределенный интеграл от степени:
Пример 2. Найти интеграл
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем а>0) и найдем неопределенный интеграл от степени:
Пример 3. Найти интеграл
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями (aman=am+n) и найдем неопределенный интеграл от степени:
Пример 4. Найти интеграл
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем (am/n= а>0), правилами действий над степенями с одинаковыми основаниями (aman=am+n, am:an=am-n), правилом деления суммы на число и найдем интеграл от каждого слагаемого отдельно. Имеем
Заметим, что произвольные постоянные, входящие по определению в каждый из слагаемых неопределенных интегралов, объединяются в одну произвольную постоянную.
Пример 5. Найти интеграл
Решение. Раскроем скобки по формуле (a-b)2=a2-2ab+b2 и неопределенный интеграл от полученной алгебраической суммы функций заменим такой же алгебраической суммой неопределенных интегралов от каждой функции:
Пример 6. Найти интеграл
Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся формулой и свойствами неопределенного интеграла:
1.3. Метод подстановки
Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.
Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.
Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:
1) часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;
2) найти дифференциал от обеих частей замены;
3) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);
4) найти полученный табличный интеграл;
5) сделать замену.
Пример 7. Найти интеграл
Решение. Произведем подстановку 5-3х=t, тогда –3dx=dt, откуда Далее получаем
Пример 8. Найти интеграл
Решение. Сначала положим 2+cos x = t, тогда sin x dx = dt, откуда sin x dx = dt. Далее получаем
Пример 9. Найти интеграл
Решение. Положим 2+3ех = t, тогда 3ех dx = t откуда Далее получаем
Пример 10. Найти интеграл
Решение. Положим , тогдаоткудаdx = 2dt. Далее получаем
В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы (k0, n0 постоянные):
Так, при нахождении можно использовать формулугдеТогда