- •§ 1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
- •§ 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости
- •§ 3. Полярные координаты
- •§ 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка
- •На произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат.
- •Длина и полярный угол отрезка. Расстояние
- •Между двумя точками
- •§ 5. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 6. Площадь треугольника
- •§ 7. Преобразование координат
- •§ 8. Функция двух переменных
- •§ 9. Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
- •§ 10. Вывод уравнений заранее данных линий
- •§ 11. Параметрические уравнения линии
- •§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •§ 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
- •§ 14. Нормальное уравнение прямой. Задача определения расстояния от точки до прямой
- •§ 15. Уравнение пучка прямых
- •§ 16. Полярное уравнение прямой
- •§ 17. Окружность
- •§ 18. Эллипс
- •§ 19. Гипербола
- •§ 20. Парабола
- •§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
- •§ 22. Диаметры линий второго порядка
- •§ 23. Центр линии второго порядка
- •§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
- •§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
- •§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях
- •§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
- •§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
- •§ 30. Линейные операции над векторами
- •§ 31. Скалярное произведение векторов
- •§ 32. Векторное произведение векторов
- •§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
- •§ 34. Двойное векторное произведение
- •§ 36. Уравнение поверхности
- •§ 36. Уравнения линии. Задача о пересечении трёх поверхностей.
- •§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
- •§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
- •§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
- •§ 41. Уравнения прямой
- •§ 42. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой
- •§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой
- •§ 44. Сфера
- •§ 45. Уравнения плоскости, прямой и сферы в векторной символике
- •§ 46. Поверхности второго порядка.
§ 9. Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
Равенство вида F(x, y) = 0 называется уравнением с двумя переменными x, у, если оно справедливо не для всяких пар чисел х, у. Говорят, что два числа x = x0, у=у0, удовлетворяют некоторому уравнению вида F(х, у)=0, если при подстановке этих чисел вместо переменных х и у в уравнение его левая часть обращается в нуль.
Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.
В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F(х, у) = 0» мы часто будем говорить короче: дана линия F (х, у) = 0.
Если даны уравнения двух линий F (х, у) = 0 и Ф(х, y) = Q, то совместное решение системы
даёт все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся совместным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения.
*) В тех случаях, когда система координат не названа, подразумевается, что она — декартова прямоугольная.
157. Даны точки *) M1(2; — 2), M 2(2; 2), M 3(2; — 1), M 4(3; —3), M5(5; —5), M6(3; —2). Установить, какие изданных точек лежат на линии, определённой уравнением х + у = 0, и какие не лежат на ней. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить её на чертеже.)
158. На линии, определённой уравнением х2+y2 =25, найти точки, абсциссы которых равны следующим числам: а) 0, б) — 3, в) 5, г) 7; на этой же линии найти точки, ординаты которых равны следующим числам: д) 3, е) — 5, ж) — 8. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить её на чертеже.)
159. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями (построить их на чертеже):
1) х — у = 0; 2) х + у = 0; 3) x — 2 = 0; 4) x + 3 = 0;
5) у — 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;
9) x2 — xy = 0; 10) xy + y2 = 0; 11) x2 — y2 = 0; 12) xy = 0;
13) y2 — 9 = 0; 14) xy2 — 8 xy +15 = 0; 15) y2+5y+4 = 0;
16) х2у — 7ху + 10y = 0; 17) у = |x|; 18) х = |у |; 19) y + |x|=0;
20) х + |у |= 0; 21) у = |х— 1|; 22) y = |x + 2|; 23) х2 + у2 = 16;
24) (x—2)2+(y—1)2=16; 25) (x + 5)2+(y—1)2 = 9;
26) (х — 1)2 + y2 = 4; 27) x2 +(y + 3)2 = 1; 28) (x —3)2 + y2 = 0;
29) х2 + 2y2 = 0; 30) 2 х2 + 3y2 + 5 = 0
31) ( x— 2)2 + (y + 3)2 + 1=0.
160. Даны линии:
1) х + у = 0; 2) х — у = 0; 3) x2 + y2 — 36 = 0;
4) x2+y 2—2x==0; 5) x2+y 2+ 4x—6y—1 =0.
Определить, какие из них проходят через начало координат.
161. Даны линии:
1) x2 + y 2 = 49; 2) (x — 3)2 + (y + 4)2 = 25;
3) (x + 6)2 + (y — 3)2 = 25; 4) (x + 5)2 + (y — 4)2 = 9;
5) x2 + y2— 12х + 16у = 0; 6) x2 + y2 — 2х + 8у + 7 = 0;
7) x2 + y2 — 6х + 4у +12 = 0.
Найти точки их пересечения: а) с осью Ох; б) с осью Оу.
162. Найти точки пересечения двух линий;
1) х2+у2 = 8, х—у = 0;
2) х2+у2—16x+4у+18 = 0, х + у = 0;
3) х2+у2—2x+4у —3 = 0, х2+ у2 = 25;
4) х2+у2 —8x+10у+40 = 0, х2+ у2 = 4.
163. В полярной системе координат даны точки
М1(1; ), М2(2; 0), М3(2; )
М4(;) и М5(1; )
Установить, какие из этих точек лежат на линии, определённой уравнением в полярных координатах = 2 cos , и какие не лежат на ней. Какая линия определяется данным уравнением? (Изобразить её на чертеже:)
164. На линии, определённой уравнением = , найти точки, полярные углы которых равны следующим числам: а) ,б) —, в) 0,г) . Какая линия определена данным уравнением?
(Построить её на чертеже.)
165. На линии, определённой уравнением = , найти точки,полярные радиусы которых равны следующим числам: а) 1, б) 2,в). Какая линия определена данным уравнением? (Построить её на чертеже.)
166. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):
1) = 5; 2) = ; 3) = ; 4) cos = 2; 5) sin = 1;
6) = 6 cos ; 7) = 10 sin ; 8) sin = 9) sin =
167. Построить на чертеже следующие спирали Архимеда:
1) = 5, 2) = 5; 3) = ; 4)р = -1.
168. Построить на чертеже следующие гиперболические спирали:
1) = ; 2) = ; 3) = ; 4) = —.
169. Построить на чертеже следующие логарифмические спирали:
,.
170. Определить длины отрезков, на которые рассекает спиральАрхимеда
луч, выходящий из полюса и наклонённый к полярной оси под углом . Сделать чертёж.
171. На спирали Архимедавзята точка С, полярный радиус которой равен 47. Определить, на сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус точки С, Сделать чертёж.
172. На гиперболической спиралинайти точку Р, полярный радиус которой равен 12. Сделать чертёж.
173. На логарифмической спиралинайти точку Q, полярный радиус которой равен 81. Сделать чертёж.