- •§ 1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
- •§ 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости
- •§ 3. Полярные координаты
- •§ 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка
- •На произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат.
- •Длина и полярный угол отрезка. Расстояние
- •Между двумя точками
- •§ 5. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 6. Площадь треугольника
- •§ 7. Преобразование координат
- •§ 8. Функция двух переменных
- •§ 9. Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
- •§ 10. Вывод уравнений заранее данных линий
- •§ 11. Параметрические уравнения линии
- •§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •§ 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
- •§ 14. Нормальное уравнение прямой. Задача определения расстояния от точки до прямой
- •§ 15. Уравнение пучка прямых
- •§ 16. Полярное уравнение прямой
- •§ 17. Окружность
- •§ 18. Эллипс
- •§ 19. Гипербола
- •§ 20. Парабола
- •§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
- •§ 22. Диаметры линий второго порядка
- •§ 23. Центр линии второго порядка
- •§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
- •§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
- •§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях
- •§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
- •§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
- •§ 30. Линейные операции над векторами
- •§ 31. Скалярное произведение векторов
- •§ 32. Векторное произведение векторов
- •§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
- •§ 34. Двойное векторное произведение
- •§ 36. Уравнение поверхности
- •§ 36. Уравнения линии. Задача о пересечении трёх поверхностей.
- •§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
- •§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
- •§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
- •§ 41. Уравнения прямой
- •§ 42. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой
- •§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой
- •§ 44. Сфера
- •§ 45. Уравнения плоскости, прямой и сферы в векторной символике
- •§ 46. Поверхности второго порядка.
§ 23. Центр линии второго порядка
Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя переменными) принято записывать в виде:
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (1),
Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.
Точка S (х0; уа) является центром линии, определяемой уравнением (1) в том и только в том случае, когда её координаты удовлетворяют уравнениям:
(2)
Обозначим через определитель этой системы:
.
Величина составляется из коэффициентов при старших членах уравнения (1) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения.
Если 0, то система (2) является совместной и определённой, т. е. имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам:
Неравенство 0 служит признаком центральной линии второго порядка.
Если S (х0 , у0) — центр линии второго порядка, то в результате преобразования координат по формулам
(что соответствует переносу начала координат в центр линии) её уравнение примет вид
,
где А, В, С — те же, что в данном уравнении (1), а определяется формулой
В случае 0 имеет место также следующая формула:
где
.
Определитель называется дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.
665.Установить, какие из следующих линий являются центральными (т. е. имеют единственный центр), какие не имеют центра, какие имеют бесконечно много центров:
1) 3х2 — 4ху — 2у2 + 3х — 12у — 7 = 0;
2) 4х2 + 5ху + 3y2 — х + 9у — 12 = 0;
3) 4х2 — 4ху +y2 — 6х + 8у + 13 = 0;
4) 4х2 — 4ху + y2 — 12х + 6у — 11 = 0;
5) х2 — 2ху + 4у2 + 5х —7у+12=0;
6) х2 — 2ху + у2 — 6х + 6у — 3 = 0;
7) 4х2 — 20ху + 25у2 — 14х + 2у — 15 = 0;
8) 4х2 — 6ху — 9у2 + 3х — 7у + 12 = 0.
666.Установить, что следующие линии являются центральными, и для каждой из них найти координаты центра:
1) 3х2 + 5ху +y2 — 8х — 11у — 7 = 0;
2) 5х2 + 4ху + 2y2 + 20х+ 20у — 18 = 0;
3) 9х2 — 4ху — 7y2 — 12 = 0;
4) 2х2 — 6ху + 5у2 + 22х — 36у + 11 = 0.
667.Установить, что каждая из следующих линий имеет бесконечно много центров; для каждой из них составить уравнение геометрического места центров:
1) х2 — 6ху + 9y2 — 12х + 36y + 20 = 0;
2) 4х2 + 4ху + у2 — 8х — 4у — 21 = 0;
3) 25x2 — 10ху + у2 + 40х — 8у + 7 = 0.
668.Установить, что следующие уравнения определяют центральные линии; преобразовать каждое из них путём переноса начала координат в центр:
1) 3х2 — 6ху + 2у2 — 4х + 2у+1=0;
2) 6х2 + 4ху +y2 + 4х — 2у + 2=0;
3) 4х2 + 6ху+у2 — 10х —10 = 0;
4) 4х2 + 2ху + 6y2 + 6х — 10у + 9 = 0.
669. При каких значениях т и п уравнение
mх2 + 12ху + 9у2 + 4х + пу — 13 = 0
определяет:
а) центральную линию;
б) линию без центра;
в) линию, имеющую бесконечно много центров.
670. Дано уравнение линии 4х2 — 4ху +у2 + 6х + 1 =0.
Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая
у = kx
а) пересекает эту линию в одной точке;
б) касается этой линии;
в) пересекает эту линию в двух точках;
г) не имеет общих точек с этой линией.
671. Составить уравнение линии второго порядка, которая, имея центр в начале координат, проходит через точку М (6; —2) и касается прямой
х —2 = 0
в точке N (2; 0).
672. Точка Р (1; —2) является центром линии второго порядка, которая проходит через точку Q (0;—3) и касается оси Ох в начале координат. Составить уравнение этой линии.