- •§ 1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
- •§ 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости
- •§ 3. Полярные координаты
- •§ 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка
- •На произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат.
- •Длина и полярный угол отрезка. Расстояние
- •Между двумя точками
- •§ 5. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 6. Площадь треугольника
- •§ 7. Преобразование координат
- •§ 8. Функция двух переменных
- •§ 9. Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
- •§ 10. Вывод уравнений заранее данных линий
- •§ 11. Параметрические уравнения линии
- •§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •§ 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
- •§ 14. Нормальное уравнение прямой. Задача определения расстояния от точки до прямой
- •§ 15. Уравнение пучка прямых
- •§ 16. Полярное уравнение прямой
- •§ 17. Окружность
- •§ 18. Эллипс
- •§ 19. Гипербола
- •§ 20. Парабола
- •§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
- •§ 22. Диаметры линий второго порядка
- •§ 23. Центр линии второго порядка
- •§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
- •§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
- •§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях
- •§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
- •§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
- •§ 30. Линейные операции над векторами
- •§ 31. Скалярное произведение векторов
- •§ 32. Векторное произведение векторов
- •§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
- •§ 34. Двойное векторное произведение
- •§ 36. Уравнение поверхности
- •§ 36. Уравнения линии. Задача о пересечении трёх поверхностей.
- •§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
- •§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
- •§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
- •§ 41. Уравнения прямой
- •§ 42. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой
- •§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой
- •§ 44. Сфера
- •§ 45. Уравнения плоскости, прямой и сферы в векторной символике
- •§ 46. Поверхности второго порядка.
§ 36. Уравнения линии. Задача о пересечении трёх поверхностей.
Линия в пространстве определяется совместным заданием двух уравнений
как пересечение двух поверхностей F(х, у, z) = 0 и Ф(x, у, z) = 0. Если F(x, у, z) = 0, Ф(х, у, z)==0, Ψ(х, у, z) = 0 суть уравнения трёх поверхностей, то для разыскания точек их пересечения нужно совместно решить систему:
Каждое решение х, у, z этой системы представляет собой координаты одной из точек пересечения данных поверхностей.
900. Даны точки M1(3; 4; —4), M2(—3; 2; 4), М3(— 1— 4; 4) и M4(2; 3; —3). Определить, какие из них лежат на линии
и какие не лежат на ней.
901. Определить, какие из следующих линий проходят через начало координат:
1)2)
3)
902. На линии найти точку:
1) абсцисса которой равна 3; 2) ордината которой равна 2; 3) апликата которой равна 8.
903. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
1) 2)3)4)5)
6) 7) 8) 9)
10) 11)
904. Составить уравнения линии пересечения плоскости Oxz и сферы с центром в начале координат и радиусом, равным 3.
905. Составить уравнения линии пересечения сферы, центр которой находится в начале координат и радиус равен 5, с плоскостью, параллельной плоскости Охz и лежащей в левом полупространстве на расстоянии двух единиц от неб.
906. Составить уравнения линии пересечения плоскости Oyz и сферы, центр которой находится в точке С(5; —2; 1) и радиус равен 13.
907. Составить уравнения линии пересечения двух сфер, одна из которых имеет радиус, равный 6, и центр в начале координат, другая имеет радиус, равный 5, и центр С(1; —2; 2).
908. Найти точки пересечения трех поверхностей:
х2 +y2+x2 =49, у — 3 = 0, z + 6 = 0.
909. Найти точки пересечения трёх поверхностей:
х2 +y2+x2 =9, x2+y2 +(z — 2)2 = 5, y - 2 = 0.
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
Уравнение с двумя переменными вида
F(х, у) = 0
в пространственной системе координат определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Qz. На плоскости в системе координат с осями Ох и Оу уравнение F (x, y) = Q определяет линию, именно, направляющую линию рассматриваемого цилиндра. Но эта же линия в пространственной системе координат должна быть задана двумя уравнениями:
Аналогично: уравнениеF(х, z) = 0
(в пространстве) определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Оу, уравнение F(y, г) = 0 определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Ох.
910. Установить, какие геометрические образы определяются в пространственной системе координат следующими уравнениями:
1) x2+z2 = 25; 2); 3)4) х2 = 6z;
5)х2 — ху = 0; 6)х2 —z2 = 0; 7)y2 + z2 = 0;
8) х2 + 4у2 + 4 = 0; 9)х2 + z2 = 2z; 10)y2 + z2 = —z.
911. Найти уравнение цилиндра, проектирующего окружность:
на плоскость: 1) Оху; 2) Охz; 3) Oyz.
912. Найти уравнения проекции окружности:
на плоскости 1) Оху; 2) Охz; 3) Oyz.
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.
Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется её нормальным вектором. Уравнение
А(х — xо) + В(у — yо) + С(z — zz0) = 0 (1)
определяет плоскость, проходящую через точку М0(х0; у0; z0) и имеющую нормальный вектор п = {А; В; С}.
Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число —Ах0 — Ву0,—Сz0 буквой D представим его в виде:
Ах + By + Cz + D = 0.
Это уравнение называется общим уравнением плоскости.
913. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2; 1; —1) и имеет нормальный вектор n ={1, —2; 3}.
914. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор п = {5; 0; —3}.
915. Точка Р (2; —1; —1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.
916. Даны две точки М1(3; —1; 2) и М2(4; —2; —1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно к вектору .
917. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(3; 4; —5) параллельно двум векторам a1 = {3; 1; —1} и a2 = {1; —2; 1}.
918. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0;у0;z0) параллельно двум векторам
a1 = {l1; m1; п1;} и a2 = {l2; m2; п2;}
может быть представлено в следующем виде:
= 0
919. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(2; — 1; 3) и М2(3; 1; 2) параллельно вектору а = {3; — 1; —4}.
920. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2) параллельно вектору
а = {1; т;},
может быть представлено в следующем виде:
= 0
921. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: М1 (3; — 1; 2), М2 (4; — 1; — 1) и М3 (2; 0; 2).
922.Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через три точки:
М1(х1;у1;z1) М2(х2;у2;z2) М3(х3;у3;z3)
может быть представлено в следующем виде:
= 0
923. Определить координаты какого-нибудь нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каждом случае написать общее выражение координат произвольного нормального вектора:
1) 2х—у — 2z + 5 = 0; 2) х + 5у — z = 0;
3) 3х —2у —7 = 0; 4) 5у —3z = 0; 5)х + 2 = 0;
6) у — 3 = 0.
924. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:
1) 2х — 3у + 5z — 7 = 0, 2х — 3у + 5z + 3 = 0;
2) 4х+2у —4z + 5 = 0, 2х + у + 2z—1=0;
3) х—3z +2 = 0, 2х —6z — 7 = 0.
925.Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:
1) 3х—у — 2z — 5 = 0, х + 9у — 32 + 2 = 0;
2) 2х + 3у —2 —3 = 0, х — у — z + 5 = 0;
3) 2х —5у + z = 0, х + 22 —3 = 0.
926. Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости:
1) 2х + lу + 3z — 5 = 0, mх —6у —6z + 2 = 0;
2) 3х— у + lz — 9 = 0, 2х + mу + 2z —3 = 0;
3) mx + 3у — 2z — 1=0, 2х— 5у — lz = 0.
927. Определить, при каком значении l следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:
1) 3х — 5у+ lz — 3 = 0, х + 3у + 2z + 5 = 0;
2) 5х + у — 32 — 2 = 0, 2х + lу — 3z + 1 = 0;
3) 7х — 2у — 2 = 0, lх + у — 3z — 1 = 0.
928. Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:
1) х — у+z — 1 = 0, х + у—z + 3 = 0;
2) 3у — z = 0, 2у + z = 0;
3) 6х + 3у — 2z = 0, х + 2у + 6z — 12 = 0;
4) х + 2у + 2z — 3 = 0, 16х+12у — 15z — 1 = 0.
929. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5х — 3у + 2z — 3 = 0.
930. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(3; —2; —7) параллельно плоскости 2х — 3z + 5 = 0.
931.Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:
2х — у + 3z — 1=0, х + 2у + z = 0.
932. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2; —1; 1) перпендикулярно к двум плоскостям:
2х — z + 1 = 0, у = 0.
933. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0; у0; z0) перпендикулярно к плоскостям
А1х + В1у + С1z + D1 = 0, A2x + В2у + С2z + D2 = 0,
может быть представлено в следующем виде:
934. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки М1(1; —1; —2) и M2(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости х — 2у + 3z — 5 = 0.
935. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две точки М1(х1; y1; z1 ) и M2(x2; у2; z2) перпендикулярно к плоскости
Ax + By + C2 + D = 0,
может быть представлено в следующем виде:
=0.
936. Установить, что три плоскости х — 2у + z— 7 = 0, 2х + у — z + 2 = 0, х—3y+2z—11 = 0 имеют одну общую точку, и вычислить еe координаты.
937. Доказать, что три плоскости 7х + 4y + 7z + 1 = 0, 2х — у — 2 + 2 = 0, х + 2у + 32 — 1 = 0 проходят через одну прямую.
938. Доказать, что три плоскости 2х — у + 3z— 5 = 0, 3х + у + 2z — 1 = 0, 4х + 3у + z + 2 = 0 пересекаются по трём различным параллельным прямым.
939. Определить, при каких значениях а и b плоскости 2х — у + 3z — 1 = 0, х + 2у — z + b = 0, х + ау —6z + 10 = 0:
1) имеют одну общую точку;
2) проходят через одну прямую;
3) пересекаются по трём различным параллельным прямым.