- •§ 1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
- •§ 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости
- •§ 3. Полярные координаты
- •§ 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка
- •На произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат.
- •Длина и полярный угол отрезка. Расстояние
- •Между двумя точками
- •§ 5. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 6. Площадь треугольника
- •§ 7. Преобразование координат
- •§ 8. Функция двух переменных
- •§ 9. Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
- •§ 10. Вывод уравнений заранее данных линий
- •§ 11. Параметрические уравнения линии
- •§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •§ 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
- •§ 14. Нормальное уравнение прямой. Задача определения расстояния от точки до прямой
- •§ 15. Уравнение пучка прямых
- •§ 16. Полярное уравнение прямой
- •§ 17. Окружность
- •§ 18. Эллипс
- •§ 19. Гипербола
- •§ 20. Парабола
- •§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
- •§ 22. Диаметры линий второго порядка
- •§ 23. Центр линии второго порядка
- •§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
- •§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
- •§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях
- •§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
- •§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
- •§ 30. Линейные операции над векторами
- •§ 31. Скалярное произведение векторов
- •§ 32. Векторное произведение векторов
- •§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
- •§ 34. Двойное векторное произведение
- •§ 36. Уравнение поверхности
- •§ 36. Уравнения линии. Задача о пересечении трёх поверхностей.
- •§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
- •§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
- •§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
- •§ 41. Уравнения прямой
- •§ 42. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой
- •§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой
- •§ 44. Сфера
- •§ 45. Уравнения плоскости, прямой и сферы в векторной символике
- •§ 46. Поверхности второго порядка.
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
Пусть уравнение
(1)
является параболическим, т. е. удовлетворяет условию
.
В этом случае линия, определяемая уравнением (1), либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров. Упрощение параболического уравнения целесообразно начать с поворота координатных осей, т. е. сначала преобразовать уравнение (1) при помощи формул
(2)
Угол следует найти из уравнения
(3)
тогда в новых координатах уравнение (1) приводится либо к виду
, (4)
где , либо к виду
(5)
где .
Дальнейшее упрощение уравнений (4) и (5) достигается путём параллельного перенесения (повёрнутых) осей.
689. Установить, что каждое из следующих уравнений является параболическим; каждое из них привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:
1) 9х2 —24ху+16у2 —20х+110у —50 = 0;
2) 9х2 + 12ху + 4у2 — 24х — 16у + 3 = 0;
3) 16х2 — 24ху + 9уа — 160х+ 120у + 425 = 0.
690. То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:
1) 9х2 + 24ху+16у2—18х + 226у +209 = 0;
2) х2 — 2ху+у2 — 12х+12у— 14 = 0;
3) 4х2 + 12ху + 9у2 —4х —6у+1=0.
691. Для любого параболического уравнения доказать, что коэффициенты А и С не могут быть числами разных знаков и что они одновременно не могут обращаться в нуль.
692.Доказать, что любое параболическое уравнение может быть написано в виде:
Доказать также, что эллиптические и гиперболические уравнения в таком виде не могут быть написаны.
693. Установить, что следующие уравнения являются параболическими, и записать каждое из них в виде, указанном в задаче 692:
1) х2 + 4ху + 4у2 + 4х+у—15 = 0;
2) 9х2 —6ху+у2 —х + 2у—14 = 0;
3) 25х2 — 20ху + 4у2 + 3х —у +11=0;
4) 16х2+16ху + 4у2 — 5х + 7у = 0;
5) 9х2 — 42ху + 49у2 + 3х — 2у — 24 = 0.
694. Доказать, что если уравнение второй степени является параболическим и написано в виде
то дискриминант его левой части определяется формулой
.
695.Доказать, что параболическое уравнение
при помощи преобразования
приводится к виду
где
а — дискриминант левой части данного уравнения.
696. Доказать, что параболическое уравнение определяет параболу в том и только в том случае, когда . Доказать, что в этом случае параметр параболы определяется формулой
697.Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти параметр этой параболы:
1) 9х2 + 24ху+16у2 — 120х + 90у = 0;
2) 9х2 — 24ху+16у2 — 54х—178у+181=0;
3) х2 —2ху+у2 + 6х—14у + 29 = 0;
4) 9х2 — 6ху +у2 — 50х + 50у — 275 = 0.
698. Доказать, что уравнение второй степени является уравнением вырожденной линии в том и только в том случае, когда = 0.
699.Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару параллельных прямых, и найти их уравнения:
а) 4х2 + 4ху+у2 —12х —6у + 5 = 0;
б) 4х2 — 12ху + 9у2 + 20х — 30у — 11 = 0;
в) 25х2 — 10xу +у2 + 10х — 2у —15 = 0.
700. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет одну прямую (пару слившихся прямых), и найти уравнение этой прямой:
а) х2 —6ху + 9у2 + 4х—12у + 4 = 0;
б) 9х2 + 30ху + 25у2 + 42х + 70у + 49 = 0;
в) 16х2—16ху+4у2 —72х+36у + 81=0.