§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы

Полярное уравнение, общее по форме для эллипса, одной ветви гипер­болы и параболы имеет вид

, (1)

где ,  — полярные координаты произвольной точки линии, р — фокальный параметр (половина фокальной хорды линии, перпендикулярной к её оси),  — эксцентриситет (в случае параболы  = 1). Полярная система координат при этом выбрана так, что полюс находится в фокусе, а полярная ось на­правлена по оси линии в сторону, противоположную ближайшей к этому фокусу директрисы.

628. Дано уравнение эллипса = 1. Составить его полярное уравнение, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится:

1) в левом фокусе эллипса; 2) в правом фокусе.

629. Дано уравнение гиперболы = 1. Составить полярное уравнение её правой ветви, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится:

1) в правом фокусе гиперболы; 2) в левом фокусе.

630. Дано уравнение гиперболы = 1. Составить поляр­ное уравнение её левой ветви, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится:

1) в левом фокусе гиперболы; 2) в правом фокусе.

631. Дано уравнение параболы у² = 6х. Составить её полярное уравнение, считая, что направление полярной оси совпадает с поло­жительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.

632. Определить, какие линии даны следующими уравнениями в полярных координатах:

1) , 2), 3),

4) , 5), 6),

633. Установить, что уравнение 1) , определяет эл­липс, и найти его полуоси.

634. Установить, что уравнение определяет пра­вую ветвь гиперболы и найти ей полуоси.

635. Установить, что уравнение определяет эллипс, и составить полярные уравнения его директрис.

636. Установить, что уравнение определяет пра­вую ветвь гиперболы, и составить полярные уравнения директрис и асимптот этой гиперболы.

637. На эллипсе найти точки, полярный радиус которых равен 6.

638. На гиперболе найти точки, полярный радиус которых равен 3.

639. На параболе найти точки:

1) с наименьшим полярным радиусом; 2) с полярным радиусом, равным параметру параболы.

640. Дано уравнение эллипса Составить его поляр­ное уравнение при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в центре эллипса.

641. Дано уравнение гиперболы .Составить её по­лярное уравнение при условии, что направление полярной оси со­впадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс на­ходится в центре гиперболы.

642. Дано уравнение параболы у² = 2рх. Составить её полярное уравнение при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в вершине параболы.

§ 22. Диаметры линий второго порядка

В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллель­ных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая назы­вается диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряжённым этой хорде (и всем хордам, которые ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр. Если эллипс задан уравнением

, (1)

то его диаметр, сопряжённый хордам с угловым коэффициентом k, опреде­ляется уравнением

.

Если гипербола задана уравнением , (2)

то её диаметр, сопряжённый хордам с угловым коэффициентом k, опреде­ляется уравнением .Все диаметры параболы параллельны её оси. Если парабола задана урав­нением y² = 2px то её диаметр, сопряжённый хордам с угловым коэффициентом k, опреде­ляется уравнением

.

Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит пополам хорды, па­раллельные первому. Такие два диаметра называются взаимно сопряжён­ными.

Если k и k' — угловые коэффициенты двух взаимно сопряжённых диа­метров эллипса (1), то (3)

Если k и k' — угловые коэффициенты двух взаимно сопряжённых диа­метров гиперболы (2), то

(4)

Соотношения (3) и (4) называются условиями сопряжённости диаметров со­ответственно для эллипса и для гиперболы. Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряжённым хор­дам, называется главным.

643. Составить уравнение диаметра эллипса , прохо­дящего через середину его хорды, отсекаемой на прямой 2х — у — 3 = 0.

644. Составить уравнение хорды эллипса , проходящей через точку А (1; —2) и делящейся ею пополам.

645. Составить уравнения двух взаимно сопряжённых диаметров эллипса х² + 4у² = 1, из которых один образует с осью Ох угол в 45°.

646. Составить уравнения двух взаимно сопряжённых диаметров эллипса 4х² + 9у² = 1, из которых один параллелен прямой х + 2у —5 = 0.

647. Составить уравнения двух взаимно сопряжённых диаметров эллипса х² + 3у² = 1, из которых один перпендикулярен к прямой 3х + 2у — 7 = 0.

648.На чертеже изображён эллипс. Пользуясь циркулем и ли­нейкой, построить его центр.

649.Доказать, что оси эллипса являются единственной парой его главных диаметров.

650. Пользуясь свойствами сопряжённых диаметров, доказать, что каждый диаметр окружности является главным.

651. а) В эллипс вписан равнобедренный треугольник так, что одна его вершина совпадает с одной из вершин эллипса. Доказать, что основание этого треугольника параллельно одной из осей эллипса.

б) Доказать, что стороны прямоугольника, вписанного в эллипс, параллельны осям этого эллипса.

в) На чертеже изображён эллипс. Пользуясь циркулем и линей­кой, построить его главные диаметры.

652.Доказать, что хорды эллипса, соединяющие его произволь­ную точку с концами любого диаметра этого эллипса, параллельны паре его сопряжённых диаметров.

653. а) Доказать, что сумма квадратов двух сопряжённых полудиаметров эллипса есть величина постоянная (равная сумме квадра­тов его полуосей).

б) Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на двух сопряжённых полудиаметрах эллипса, есть величина постоянная (равная площади прямоугольника, построенного на его полуосях).

654. Составить уравнение диаметра гиперболы , про­ходящего через середину её хорды, отсекаемой на прямой 2х — y + 3 = 0.

655. Дана гипербола . Составить уравнение её хорды,

которая проходит через точку А(3; —1) и делится точкой А пополам.

656. Составить уравнения двух сопряжённых диаметров гипер­болы х²— 4у² = 4, из которых один проходит через точку А (8; 1).

657.Составить уравнения сопряжённых диаметров гиперболы

, угол между которыми равен 45°.

658.На чертеже изображена гипербола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить её центр.

659.Доказать, что оси гиперболы являются единственной парой её главных диаметров.

660.На чертеже изображена гипербола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить её главные диаметры.

661. Составить уравнение диаметра параболы у² = 12х, прохо­дящего через середину её хорды, отсекаемой на прямой 3х + y — 5 = 0.

662. Дана парабола у² = 20х. Составить уравнение её хорды, которая проходит через точку А(2; 5) и делится точкой А пополам.

663.Доказать, что ось параболы является единственным её глав­ным диаметром.

664.На чертеже изображена парабола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить её главный диаметр.