- •§ 1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
- •§ 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости
- •§ 3. Полярные координаты
- •§ 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка
- •На произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат.
- •Длина и полярный угол отрезка. Расстояние
- •Между двумя точками
- •§ 5. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 6. Площадь треугольника
- •§ 7. Преобразование координат
- •§ 8. Функция двух переменных
- •§ 9. Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
- •§ 10. Вывод уравнений заранее данных линий
- •§ 11. Параметрические уравнения линии
- •§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •§ 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
- •§ 14. Нормальное уравнение прямой. Задача определения расстояния от точки до прямой
- •§ 15. Уравнение пучка прямых
- •§ 16. Полярное уравнение прямой
- •§ 17. Окружность
- •§ 18. Эллипс
- •§ 19. Гипербола
- •§ 20. Парабола
- •§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
- •§ 22. Диаметры линий второго порядка
- •§ 23. Центр линии второго порядка
- •§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
- •§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
- •§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях
- •§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
- •§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
- •§ 30. Линейные операции над векторами
- •§ 31. Скалярное произведение векторов
- •§ 32. Векторное произведение векторов
- •§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
- •§ 34. Двойное векторное произведение
- •§ 36. Уравнение поверхности
- •§ 36. Уравнения линии. Задача о пересечении трёх поверхностей.
- •§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
- •§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
- •§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
- •§ 41. Уравнения прямой
- •§ 42. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой
- •§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой
- •§ 44. Сфера
- •§ 45. Уравнения плоскости, прямой и сферы в векторной символике
- •§ 46. Поверхности второго порядка.
§ 1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точкамиА и В, называется направленным, если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая — концом. Направленный отрезок с началом А и концом В обозначается символом АВ. Величиной направленного отрезка оси называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (т. е. направление от начала к концу) совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если это направление противоположно положительному направлению оси. Величина отрезка АВ обозначается символом АВ, его длина — символом АВ. Если точки А и В совпадают, то определяемый ими отрезок называется нулевым; очевидно, в этом случае АВ = ВА = 0 (направление нулевого отрезка следует считать неопределённым).
Пусть дана произвольная прямая а. Выберем некоторый отрезок в качестве единицы измерения длин, назначим на прямой а положительное направление (после чего она становится осью) и отметим на этой прямой буквой О какую-нибудь точку. Тем самым на прямой а будет введена система координат.
Координатой любой точки М прямой а (в установленной системе координат) называется число х, равное величине отрезка ОМ:
х = ОМ.
Точка О называется началом координат; её собственная координата равна нулю. В дальнейшем символ М (х) означает, что точка М имеет координату х.
Если M1 (x1) и М2(x2) — две произвольные точки прямой а, то формула
M1 M2 = x2 – x1
выражает величину отрезка формула M1 M2 выражает его длину.
|M1M2 | = | x2 – x1 |
1. Построить точки:
А(3), B(5), С(—1), D(),E(—),F() иH(—).
2. Построить точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям
1) |x| = 2; 2) |x—1| = 3; 3) |1— x|=2; 4) | 2+x| = 2.
3. Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
1) |x| >2; 2) х — 30; 3) 12— x<0; 4) 2x—30;
5) 3x—5>0; 6) 1<x<3; 7) — 2x3; 8) >0;
9) >1; 10)<0; 11)<1;
12) x2 — 8x+150; 13) x2 — 8x+15>0;
14) x2 + x—12>0; 15) x2+x— 120.
4. Определить величину АВ и длину | АВ | отрезка, заданного точками: 1) А(3) и В(11); 2) А (5) и В (2); 3) А (—1) и В (3); 4) А (—5) и В (—3);
5) А (— 1) и В (—3); 6) А (— 7) и В (—5).
5. Вычислить координату точки Л, если известны:
1) В (3) и АВ = 5; 2) В (2) и АВ = — 3; 3) В (—1) и ВА = 2;
4) В (—5) и ВА = —3; 5) В(0) и |АВ| = 2; 6) В (2) и | АВ | = 3;
7) В(— 1) и | АВ |==5; 8) В(—5) и | АВ| = 2.
6. Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют следующим неравенствам:
1) |x|<1; 2) |x|>2; 3) |x| 2; 4) |x|3; 5) х — 2|<3;
6) |x — 5|l; 7) х— 1|2; 8) |x—3=1; 9) |x+1|<3;
10) |x+2|>1; 11) x+5|l; 12) |x+1|2.
7. Определить отношение , в котором точка С делит
отрезок АВ при следующих данных:
1) А(2); В(6) и С(4); 2) А (2), В (4) и С(7);
3) А (—1), В (5) и С(3); 4) А (1), В (13) и С(5);
5) А (5), В (—2) и С(—5).
8. Даны три точки А (—7), В (—1) и С(1). Определить отношение , в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.
9. Определить отношение, в котором данная точка
М(х) делит отрезок M1M2 ограниченный данными точками М1(х1) и М2(х2).
10. Определить координату х точки М, делящей отрезок M1M2, ограниченный данными точками M1(x1) и М2(х2) в данном отношении
11. Определить координату х середины отрезка, ограниченного двумя данными точками M1(x1) и М2(х2) .
12. Определить координату х середины отрезка, ограниченного двумя данными точками, в каждом из следующих случаев:
1) А(3) и В(5); 2) С(— 1) и D(5); 3) M1(— 1) и M2(—3);
4) Р1(—5) и Р1 (1); 5) Q1(3) и Q2(—4).
13. Определить координату точки М, если известны:
1) M1(3), М2(7) и ;
2) A(2), B(—5) и ;
3) С(—1), D(3) и ;
4) A(—1), B(3) и ;
5) A(1), B(—3) и ;
6) A(—2), B(—1) и .
14. Даны две точки: A (5) и B (—3). Определить:
1) координату точки М, симметричной точке A относительно точки B;
2) координату точки N, симметричной точке B относительно точки A.
15. Отрезок, ограниченный точками A (—2) и 5(19), разделён на три равные части. Определить координаты точек деления.
16. Определить координаты концов A и B отрезка, который точками Р(—25) и Q(—9) разделён на три равные части.