§ 6. Площадь треугольника

Каковы бы ни были три точки А (х₁, у₁), В (х₂; y₂), С (х₃, у₃), площадь S треугольника ABC даётся формулой

_.

Правая часть этой формулы равна +S в том случае, когда кратчайший поворот отрезка АВ к отрезку АС положителен, и — S b том случае, когда такой поворот отрицателен.

116. Вычислить площадь треугольника, вершинами которого являются точки:

1) A(2; —3), В(3; 2) и С(—2; 5);

2) M₁(—3; 2), М₂(5; -2) и M₃(1; 3);

3) М(3; —4), N(—2; 3) и Р(4; 5).

117. Вершины треугольника суть точки А(3; 6), В(—1; 3) и С(2; —1). Вычислить длину его высоты, проведённой из вер­шины С.

118. Определить площадь параллелограмма, три вершины кото­рого суть точки А (—2; 3), В (4; —5) и С(— 3; 1).

119. Три вершины параллелограмма суть точки А (3; 7), В (2; — 3) и С(— 1; 4). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

120. Даны последовательные вершины однородной четырёхуголь­ной пластинки A(2; 1), B(5; 3), С(— 1; 7) и D(— 7; 5). Опреде­лить координаты её центра тяжести.

121. Даны последовательные вершины однородной пятиугольной пластинки А (2; 3), B(0; 6), С(— 1; 5), D(0; 1) и Е(1; 1). Опре­делить координаты её центра тяжести.

122. Площадь треугольника S = 3, две его вершины суть точки A(3; 1) и B(1; — 3), а третья вершина С лежит на оси Оу, Опре­делить координаты вершины С.

123. Площадь треугольника S = 4, две его вершины суть точки A(2; 1) и B(3; — 2), а третья вершина С лежит на оси Ох, Опре­делить координаты вершины С.

124. Площадь треугольника B = 3, две его вершины суть точки А(3; 1) и B(1; — 3), центр тяжести этого треугольника лежит на оси Ох. Определить координаты третьей вершины С.

125. Площадь параллелограмма S=12 кв. ед.; две его вершины суть точки А( — 1; 3) и В( — 2; 4). Найти две другие вершины этого параллелограмма при условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс.

126. Площадь параллелограмма S = 17 кв. ед.; две его вершины суть точки A(2; 1) и B(5; — 3). Найти две другие вершины этого параллелограмма при условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси ординат.

§ 7. Преобразование координат

Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами

х = х'+ а, у=у'+ b.

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х', у' — координаты той же точки относительно новых осей, а, b — координаты нового начала О' относительно старых осей (говорят также, что а есть величина сдвига в направлении оси абсцисс, b — величина сдвига в направлении оси ординат).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол  (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами

x = х' cos  — y sin ,

у = x' sin  — у' cos .

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х’, у’ — координаты той же точки относительно новых осей. Формулы

x = х' cos  — y sin  + а,

у = х' sin  + y cos  + b

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол . Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается также в нижеприводимых задачах.

127. Написать формулы преобразования координат, если начало координат (без изменения направления осей) перенесено в точку: 1) А(3; 4); 2) В(-2; 1); 3) С(— 3; 5).

128. Начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку О' (3; —4). Координаты точек А(1, 3), В( — 3; 0) и С( — 1; 4) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

129. Даны точки А (2; 1), В(— 1; 3) и С(— 2; 5). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей): 1) в точку А; 2) в точку В; 3) в точку С.

130. Определить старые координаты начала О' новой системы, если формулы преобразования координат заданы следующими ра­венствами:

1) x = x'+3, у = у' + 5; 2) х = x '— 2, у = у' + 1;

3) х = x', у = у' — 1; 4) х = х' — 5, у = у'.

131. Написать формулы преобразования координат, если оси координат повёрнуты на один из следующих углов:

1) 60°; 2) —45°; 3) 90°; 4) —90°; 5) 180°.

132. Оси координат повёрнуты на угол а = 60°. Координаты точек А (2/3; —4), Б(/3; 0) и С(0; —2/3) определены в но­вой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой си­стеме координат.

133. Даны точки М(3; 1), N(—1; 5) и Р(— 3; —I). Найти их координаты в новой системе, если оси координат повёрнуты на угол:

1) —45°; 2) 90°; 3) —90°; .4) 180°.

134. Определить угол а, на который повёрнуты оси, если фор­мулы преобразования координат заданы следующими равенствами:

1) x =, y =;

2) x =, y =;

135. Определить координаты точки О' нового начала координат, если точка A(3; —4) лежит на новой оси абсцисс, а точка В(2; 3) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.

136. Написать формулы преобразования координат, если точка M₁(1; —3) лежит на новой оси абсцисс, а точка M₂(l; —7) ле­жит на новой оси ординат, причём оси старой и новой систем коор­динат имеют соответственно одинаковые направления.

137. Две системы координатных осей Ох, Оу и Ох’, Оу’ имеют общее начало О и преобразуются одна в другую поворотом на не­который угол. Координаты точки А(3; — 4) определены относи­тельно первой из них. Вывести формулы преобразования координат, зная, что положительное направление оси Ох^’ определено отрез­ком ОА.

138. Начало координат перенесено в точку O’(—1; 2), оси коор­динат повёрнуты на угол  = arctg . Координаты точек М₁ (3; 2), М₂(2; —3) и M₃(13; —13) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

139. Даны три точки: А (5; 5), В(2; —1) и С(12; —6). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено в точку В, а оси координат повёрнуты на угол  = arctg .

140. Определить старые координаты нового начала и угол , на который повёрнуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами:

1) x = у’ + 3, y = x’ — 2; 2) х = — x’ — 1, у = —y’ + 3;

3) x = y =—.

141. Даны две точки: М₁(9; —3) и М₂(—6; 5). Начало коор­динат перенесено в точку М_ь а оси координат повёрнуты так, что положительное направление новой оси абсцисс совпадает с направлением отрезка М₁М₂. Вывести формулы преобразования ко­ординат.

142. Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и направлена одина­ково с нею. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса О(1; 2) и полярные координаты точек M₁(7; ),М₂(3; 0), М₃(5; —),М₄(2; ) и M₅(2; —). Определить координаты этих точек в декартовой прямоугольной системе.

143. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны полярные коор­динаты точек M₁(5; ),М₂(3; —),М₃(1; ),М₄(6; ) и M₅(2; —).

Определить декартовы прямоугольные координаты этих точек.

144. Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и одинаково с нею направлена. Даны декартовы прямоугольные координатыполюса О(3; 2)_и точек М₁(5; 2), М₂(3; 1), М₃(3; 5), М₄ (3+; 2—) иМ₅ (3+; 3). Определить полярные коор­динаты этих точек.

145. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны декартовы прямо­угольные координаты точек М₁(—1; 1), М₂(;—M₃(1; ), М₄(—; 1) и М₅(2; —2). Определить полярные координаты этих точек.