§ 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси — координатными осями. Первая из координатных осей называется осью абсцисс, а вторая — осью ординат.

Начало координат обозначается буквой О, ось абсцисс — символом Ох, ось ординат — символом Оу.

Координатами произвольной точки М в заданной системе называют числа

х = ОМ_x, у = ОМ_у

(черт. 1), гдеМ_х и My суть проекции точки М на оси Ох и Оу, ОМ_Х обозначает величину отрезка ОМ_Х оси абсцисс, ОМ_у — величину отрезка ОМ_у оси ординат. Число х называется абсциссой точки М, число у называется ординатой этой же точки. Символ М (х; у) обозначает, что точка М имеет абсциссой число х, а ординатой число у.

Ось Оу разделяет всю плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси Ох, назы­вается правой, другая — левой. Точно так же ось Ох разделяет плоскость на две полу­плоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси Оу,

Черт. 1.

назы­вается верхней, другая нижней.

Обе координатные оси вместе разделяют плоскость на четыре четверти, которые нуме­руют по следующему правилу: первой коорди­натной четвертью называется та, которая лежит одновременно в правой и в верхней полу­плоскости, второй — лежащая в левой и в верхней полуплоскости, третьей — лежащая в левой и в нижней полуплоско­сти, четвёртой — лежащая в правой и в нижней полуплоскости.

17. Построить точки

A(2; 3), В(-5; 1), С(-2; -3), D(0; 3), E(-5; 0), F(— )

18. Найти координаты проекций на ось абсцисс точек

A(2:3), В(3;—1), С(—5; 1), D(—3; — 2), E(5;1).

19. Найти координаты проекций на ось ординат точек

A(—3;2), В(—5; 1), С(3; —2), D(— 1; 1), E(—6; —2).

20. Найти координаты точек, симметричных относительно оси Ох точкам

1) A(2; 3); 2) В(—3; 2); 3) С(—1; —1);

4) D(—3; —5); 5) E(—4; 6); 6) F(a; b).

21. Найти координаты точек, симметричных относительно оси Оу точкам

1) A(-1; 2); 2) В(3; -1); 3) С(—2; -2);

4) D(—2; 5); 5) E(3; —5); 6) F(a; b).

22. Найти координаты точек, симметричных относительно на­чала координат, точкам

1) A(3; 3); 2) В(2; -4); 3) С(—2; 1);

4) D(5;-3); 5) E(-5; -4); 6) F(a; b).

23. Найти координаты точек, симметричных относительно бис­сектрисы первого координатного угла точкам

1) A2; 3); 2) В(5; -2); 3) С(—3; 4).

24. Найти координаты точек, симметричных относительно бис­сектрисы второго координатного угла точкам

1) А(3; 5); 2) В(—4; 3); 3) С(7; —2).

25. Определить, в каких четвертях может быть расположена точка М(х; у), если:

1) xy > 0; 2) xy < 0; 3) x— у = 0; 4) x + y = 0;

5) x + y = 0; 6) x + у < 0; 7) x — y > 0; 8) x — y < 0;

§ 3. Полярные координаты

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча ОА, исходящего из этой точки, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной си­стемы должно быть сказано, какие поворо­ты вокруг точки О считаются положитель­ными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки). Черт. 2.

Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) на­зываются числа = ОМ и  =  АОМ (черт. 2). Угол 6 при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число  называется пер­вой координатой, или полярным радиусом, число  — второй координатой, или полярным углом точки М ( называют

также амплитудой) *).

Символ М (; ) обозначает, что точка М имеет полярные координа­ты  и .

Полярный угол  имеет бесконечно много возможных значений (отличаю­щихся друг от друга на величину вида ± 2n, где п — целое положительное чи­сло). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам —  <  < + , называется главным.

В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1) пользоваться одним и тем же масштабом, 2) при определении полярных углов считать положительными повороты в том напра­влении, в каком следует вращать положительную полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путём совместить её с положительной полуосью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, т. е. ось Ох направлена вправо, а ось Оу — вверх, то и отсчёт полярных углов должен быть обычным, т. е. положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).

*) Здесь ОМ обозначает длину отрезка, понимаемую как в элемен­тарной геометрии (т. е. абсолютно, без учёта знака). Употреблять более громоздкий символ | ОМ | в данном случае нет надобности, поскольку точки О и М рассматриваются как произвольные точки плоскости, а не как точки некоторой оси. Подобное упрощение символики в аналогичных слу­чаях часто делается и дальше

При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

х =  cos ,

у =  sin .

В этом же случае формулы

,

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

При одновременном рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.

26. Построить точки, данные полярными координатами:

A(3; ),B(2; ),С(З; ),D(4; 3),Е(5; 2) и F(1; — 1)

(для точек D, Е и F выполнить построение приближённо, пользуясь транспортиром).

27. Определить полярные координаты точек, симметричных отно­сительно полярной оси точкам

M₁(3; ),M₂ (2;—),M₃ (3;—),

M ₄(1; 2) и M_s(5; —1),

заданным в полярной системе координат.

28. Определить полярные координаты точек, симметричных отно­сительно полюса точкам

M₁(1; ),M₂ (5;—),M₃ (2;—),

M ₄(4; ) иM_s(3; —2),

заданным в полярной системе координат.

29. В полярной системе координат даны две вершины

A(3;) и B(5; )

параллелограмма ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины этого парал­лелограмма

30. В полярной системе координат даны точки А( 8; —) иB(6; ). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки А и В.

31. В полярной системе координат даны точки

А(3; ),B(2; —), С(1; ),D(5; ),Е(3; 2) и F(2; — 1).

Положительное направление полярной оси изменено на противополож­ное. Определить полярные координаты этих точек в новой системе.

32. В полярной системе координат даны точки

M₁(3; ),M₂ (1; ),M₃ (2; 0),

M ₄(5; ),M_s(3; —) иM₆(1; )

Полярная ось повёрнута так, что в новом положении она проходит через точку М_1. Определить координаты заданных точек в новой (полярной) системе.

33. В полярной системе координат даны точки М₁ (12; )

и М₂ (12; —). Вычислить полярные координаты середины отрезка,

соединяющего точки M₁ и М₂.

34. В полярной системе координат даны точки M₁(₁; ₁) и М₂ (₂; ₂). Вычислить расстояние d между ними.

35. В полярной системе координат даны точки M₁(5; ) иМ₂ (8; ). Вычислить расстояниеd между ними.

36. В полярной системе координат даны две смежные вершины

квадрата М₁(12; ) иМ₂ (3; ). Определить его площадь.

37. В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата Р(6; —) иQ(4; ) Определить его площадь.

38. В полярной системе координат даны две вершины правиль­ного треугольника А(4; —) иВ(8; ). Определить его площадь.

39. Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе, две другие суть точки А(₁, ₁) и В(₁, ₁). Вычислить площадь этого треугольника.

40. Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе О, две другие суть точки А (5; ) иВ(4; ). Вычислить площадь этого треугольника.

41. Вычислить площадь треугольника, вершины которого А(3; ),В(8; ),С(6; ), заданы в полярных координатах.

42. Полюс полярной системы координат совпадает с началом де­картовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с по­ложительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки

M₁(6; ),M₂ (5; 0), M₃ (2; ),M ₄(10; ),M_s(8; ) иM₆(12; )

Определить декартовы координаты этих точек.

43. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точки M₁(0;5), M₂ (—3; 0), M₃(; 1), M₄(—;—), M₆ (1; —). Определить полярные коорди­наты этих точек.