Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет пищевых технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matra.rozpaxyhk.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

761.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

16.Достатні умови зростання і спадання функції.

17.Означення максимуму і мінімуму функції.

18.Критичні точки. Схема дослідження на екстремум.

6.Диференціювання функцій багатьох змінних

[1, c. 284 - 304, 313 - 318], [2, c. 95 - 111].

6.1.Частинні похідні.

Розглянемо функцію двох зміннихz = f (х, у). Якщо в цій функції зафіксувати аргумент y , а змінній x надати приріст Dx , то функція одержить частинний приріст в точці M (x; y) за змінною x . Цей приріст позначають

Dx z = f (x + Dx, y)- f (x, y).

Якщо існує границя відношення частинного приросту функції z в точці M за змінною x до приросту аргументу Dx при Dx ® 0 , то її називають частинною похідною першого порядку функції z = f (x, y) в точці M за змінною

x і позначають так:

¶z

¶f (x, y)

, z¢x

f х¢(x, y).

¶x

¶z

¶x

f (x + Dx, y)- f (x, y)

За означенням маємо:

= z¢x = lim

¶x

Dx®0

Аналогічно: Dy z = f (x, y + Dy)- f (x, y)– частинний приріст функції z

¶z

= z¢y

= lim

D y z

f (x, y + Dy)- f (x, y)

за змінною у ;

= lim

– частинна похідна

¶y

Dy®0

функції z за змінною у .

При знаходженні частинної похідної за змінною x аргумент у вважають сталою величиною; при знаходженні частинної похідної за змінною у аргумент x вважають сталою величиною. Тому при знаходженні частинних похідних використовують таблицю похідних і правила диференціювання функції однієї змінної.

Приклад. Знайти частинні похідні функції z = y 4

+ sin(2x - 4 y)+

Розв’язання.

y ö

4 ¢

z¢

ç y

+ sin(2x - 4 y)+

x-змінна

= (y

)+ (sin(2x - 4 y))

x øx

è x øx

y-const

= 0 + cos(2x - 4 y)× (2x - 4 y)

¢ + y × (x-1 ) ¢ = 2 cos(2x - 4 y)-

;

y ö

z¢y

ç y

+ sin(2x - 4 y)+

|y-змінна = (y

y )+ (sin(2x - 4 y))y

x øy

x-const

è x øy

= 4 y3 + cos(2x - 4 y)× (2x - 4 y) ¢

× (y )¢

= 4 y3

- 4 cos(2x - 4 y)+

Частинні похідні від частинних похідних першого порядку називаються частинними похідними другого порядку. У випадку функції z = f (x, y) маємо:

¶ æ

¶z ö

¶2 z

або це позначають

z¢¢

;

¶z ö

¶2 z

або

z¢¢

;

¶x2

¶x è

¶x ø

¶y è

¶x ø

¶х¶у

ху

¶ æ

¶z ö

¶2 z

z¢¢

¶z ö

¶2 z

z¢¢ .

÷ =

або

;

÷ =

або

¶у¶х

ух

¶y

¶x è

¶y ø

¶y è

¶y ø

Похідні

¶2 z

називаються мішаними частинними похідними другого

¶y¶x ¶x¶y

порядку і вони рівні в точках неперервності, тобто

¶2 z

(теорема Шварца).

¶y¶x ¶x¶y

Приклад. Знайти частинні похідні другого порядку функції

z = cos(x + 2 y)+ e3 y-x .

Розв`язання.

z¢x

= (cos(x + 2 y)+ e3 y-x )x¢ |x-змінна = (cos(x + 2 y))x¢ + (e3 y-x )x¢ =

y-const

= -sin(x + 2 y)× (x + 2 y)x¢ + e3 y-x × (3y - x)x¢ = -sin(x + 2 y)- e3 y-x ;

¢¢

= (- sin(x

+ 2 y)- e

3 y-x

zxx

= (zx

|x-змінна = -(sin(x + 2 y))x

y-const

= - cos(x + 2 y)× (x + 2 y) ¢

- e3 y-x ×(3y - x) ¢ = - cos(x + 2 y)+ e3 y-x ;

= (- sin(x

¢¢

+ 2 y)- e

3 y-x

zxy

= (zx

|y-змінна = -(sin(x + 2 y))y

x-const

= - cos(x + 2 y)× (x + 2 y)y¢ - e3 y-x ×(3y - x)y¢ = -2 cos(x + 2 y)- 3e3 y-x ;

z¢y

= (cos(x + 2 y)+ e3 y-x )y¢ |y-змінна = (cos(x + 2 y))y¢ + (e3 y-x )y¢ =

x-const

= -sin(x + 2 y)× (x + 2 y)y¢ + e3 y-x × (3y - x)y¢ = -2 sin(x + 2 y)+ 3e3 y-x ;

¢¢

= (- 2 sin

(x + 2 y)+ 3e

3 y-x

3(e

3 y-x

z yy

= (z y )y

| y-змінна = -2(sin(x + 2 y))y

x-const

= -2 cos(x + 2 y)× (x + 2 y)y¢ + 3e3 y-x ×(3y - x)y¢ = -4 cos(x + 2 y)+ 9e3 y-x ;

z¢¢

= (z¢ ) ¢

= (- 2sin(x + 2 y)+ 3e3 y-x )

x-змінна

= -2(sin(x + 2 y))

¢ +

3(e3 y-x ) ¢

y-const

= -2 cos(x + 2 y)× (x + 2 y) ¢

+ 3e3 y-x × (3y

- x)

= -2 cos(x + 2 y)- 3e3 y-x .

¢¢

3 y-x

+ 2 y)- 3e .

Отже zxy = zyx = -2 cos(x

6.2. Скалярне поле. Похідна за напрямом. Градієнт скалярного поля.

Скалярним полем називається плоска або просторова область, кожній точці M якої ставиться у відповідність значення деякої скалярної фізичної величини u = u(M ). Прикладами скалярних величин можуть бути маса, густина, робота, сила струму, температура.

Для характеристики швидкості зміни скалярного поля u = u(М ) при

переході від точки M 0 (x0 ; y0 ) до точки M (x; y) за напрямом вектора a

використовується похідна за напрямом ¶u , яка обчислюється за формулою:

¶a

¶u

cosa +

¶u

cos b .

¶a

¶x

¶y

M 0

Вектор a утворює з осями декартової прямокутної системи координат

Ox,Oy відповідно кути a ,

b , які повністю визначають напрям вектора.

Косинуси кутів a і b називаються напрямними косинусами вектора.

Напрямні косинуси вектора є координатами одиничного вектора

= (cosa;cos b ), напрям якого збігається з напрямом вектора a . Сума квадра-

тів напрямних косинусів дорівнює одиниці: cos2 a + cos2 b =1.

Нехай a = (ax ;ay

), то cosa =

, cos b =

| a |

¶u

> 0 , то функція u зростає в точці M 0

Якщо

за напрямом a ; якщо

¶a

M 0

¶u

< 0 , то функція u спадає за напрямом a

. Величина

є миттєвою

¶a

M 0

швидкістю зміни функції u за напрямом a в точці M 0 . В цьому фізичний

зміст похідної за напрямом.

Градієнтом функції u = u(х, у)

в точці

M 0 (x0 ,

y0 ) називається вектор з

початком в точці M 0 , який має своїми координатами частинні похідні функції

u , обчислених в точці M 0 :

gradu

¶u

;

¶u

i +

¶u

j ;

= ç

÷ або gradu

¶x

¶y

¶x

¶y

M 0 è

M 0

gradu

æ ¶u

¶u

ö2

+ ç

÷ .

è ¶x

M 0 ø

¶y

M 0

M 0 ø

Градієнт характеризує напрям і значення максимальної швидкості зростання функції в даній точці M 0 . В цьому фізичний зміст градієнта.

Приклад. Задані функція u = x × y + x × cos(y - x), точка M 0 (1;1) і вектор

®	®
a = (-12;5). Знайти:	а) Похідну функції u точці M 0 за напрямом вектора a .

б) Градієнт і напрям градієнта функції u в точці M 0 .

Розв’язання.

а) Знайдемо значення частинних похідних в довільній точці М (x; y):

¶u = (x × y + x ×cos(y - x))x¢ = y ×(x )x¢ + (x )x¢ × cos(y - x)+ ¶x

× (cos(y - x))x

¢ = y +

cos(y

×sin(y - x);

2 x

¶u

= (x × y +

× cos(y - x))y¢ = x × (y )y ¢ +

× (cos(y - x))y ¢ =

¶y

= x - x ×sin(y - x).

Далі знайдемо значення частинних похідних в точці М 0 (1;1):

¶u

¶x

æ		cos(y		- x)
= ç y +						+
= ç y +						+
ç		2		x
M 0 (1;1 ) è		2		x
	¶u				= (x -
	¶u

	¶y
	¶y		M 0 (1;1 )

cos 0

x ×sin(y - x)÷

= 1 +

+ sin 0

;

M 0

(1;1

)

×sin(y - x))

= 1 - sin 0 =1.

M 0 (1;1 )

Знайдемо напрямні косинуси вектора

a = (-12;5):

cosa =

-12

= -

, cos b =

ax2 + ay2

(-12)2 + 52

Отже,

¶u

cosa +

¶u

cos b = -

+1×

= -1.

¶a

¶x

¶y

M 0

2 13

¶u

< 0 , тому задана функція u спадає в точці M 0

за напрямом вектора a .

¶a

M 0

¶u

б) Знайдемо градієнт функції: gradu

i +

j =

i + j .

¶x

¶y

Модуль градієнта є число

M 0

ö2

æ ¶u

¶u

æ 3

gradu

+ 1 =

+ ç

è ¶x

M 0 ø

¶y

è 2 ø

M 0

Напрям градієнта визначаємо за його напрямними косинусами:


		3				3		1			2
cosa =			2	=		3	, cos b =	1	=		2	.
cosa =				=			, cos b =		=			.
13					13			13		13
	2							2

Запитання до самоконтролю

1.Частинний приріст функції двох змінних.

2.Частинні похідні першого порядку від функції двох змінних.

3.Частинні похідні вищих порядків.

4.Означення скалярного поля.

5.Напрямні косинуси вектора.

6.Фізичний зміст похідної за напрямком.

7.Означення градієнта.

8.Фізичний зміст градієнта.

7. Невизначений інтеграл [1, c. 330 - 362], [2, c.112 - 139].

Основною задачею диференціального числення є знаходження для заданої функції f (x) її похідної f ¢(x) . Одне з можливих фізичних трактувань цієї задачі − визначення швидкості руху за функцією, яка задає пройдений шлях за час руху. Існує і обернена задача, а саме, визначення пройденого шляху за відомою швидкістю руху як функцією часу. Остання задача є знаходженням фун-

		¢	ця задача за допомогою
кції f (x) за відомою її похідною f (x) . Розв’язується			ця задача за допомогою
невизначеного інтеграла.				на відрізку [a;b],
Функція F (x) називається первісною функції f (x)				на відрізку [a;b],	як-
що F (x) диференційовна на [a;b] і
		¢
		F (x) = f (x) .		на відрізку [a;b],
Якщо	функція F (x) є	первісною функціїf (x)		на відрізку [a;b],	то
F (x) + C , де C = const , також є первісною.
Множина всіх первісних,		F (x) + C, C Î R, називається невизначеним інтег-
ралом функції f (x) на відрізку [a;b] і позначається символом ò f (x)dx , тобто
		ò f (x)dx = F (x) + C .
Таким	чином, символом	ò f (x)dx позначається	множина всіх первісних

функції f (x) ; знак ò- називається інтегралом; f (x)dx – підінтегральний вираз; f (x) – підінтегральна функція; x – змінна інтегрування, dx – диференціал змінної інтегрування.

Операцію знаходження невизначеного інтеграла функції f (x) називають інтегруванням цієї функції.

7.1. Властивості невизначеного інтеграла.

1) Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

(ò f (x)dx)¢ = f (x) .

2)Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:

òdF (x) = F (x) + C, C Î R .

3)Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному

виразу:

d (ò f (x)dx)= f (x)dx .

4) Сталий множник C можна виносити за знак інтеграла:

òC × f (x)dx = Cò f (x)dx .

5)Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій:

ò[f (x) ± j(x)]dx = ò f (x)dx ± òj(x)dx .

6)Інваріантність формул інтегрування: якщо ò f (x)dx = F(x) + C ,

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.02.2016301.59 Кб113Magistratura_OGG_95_pitan.docx
#
12.02.20161.84 Mб9mag_8.03050901_bo_12.doc
#
11.02.2016356.86 Кб49mag_8.14010101_grs_2014(2).doc
#
12.02.20167.16 Mб86Makarov_S._Yu._Slavskaya__I._L_._Innovatsii_v_tekhnologii_i_oborudovanii_prigotovleniya_vodok.pdf
#
20.09.201984.95 Кб1Matematika.docx
#
12.02.2016761.1 Кб22matra.rozpaxyhk.pdf
#
10.11.20195.21 Mб45Meetings and Negitiations.doc
#
17.11.2019456.7 Кб6MET-mas-obs.doc
#
14.11.2019607.23 Кб6Method 2011.doc
#
18.11.2019438.27 Кб5metMex-повна.doc
#
23.08.2019951.81 Кб10Metod diplom bakalavr BTMS.doc