18.6. Повторення випробувань. Формула Бернуллі
Якщо здійснюються випробування, при яких імовірність появи події в кожному з них не залежить від результатів цих випробувань, то такі випробування називають незалежними відносно події А.
Імовірність
того, що в
незалежних випробуваннях, в яких
імовірність появи події
дорівнює
(де
),
подія настане рівно
раз (неістотно, в якій послідовності),
обчислюють за формулою
Бернуллі:
де
Приклад.
Імовірність
влучення в ціль при одному пострілі
Знайти ймовірність влучення при шести
пострілах.
Тут
За формулою Бернуллі знаходимо:
1.
Імовірність
влучення в ціль при одному пострілі
становить
Знайти ймовірність трьох влучень при
чотирьох пострілах.
2. Схожість насіння оцінюється ймовірністю 0,8. Яка ймовірність того, що з п’яти посіяних насінин проростуть три?
3. При обробці деталей на верстаті в середньому 4 % з них бувають з дефектами. Яка ймовірність того, що кожні дві деталі з 30 узятих на перевірку виявляться з дефектами?
Мішані задачі
1. Розв’язати рівняння:
1)
2)
3)
4)
5)
2.
Розв’язати
нерівності: 1)
2)
3.
Кількість комбінацій з
елементів по 4 відноситься до кількості
комбінацій з
елементів по 5, як 5 : 18. Знайти
.
4. В ящику 6 білих і 4 чорні кулі. Виймають одну за одною дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі виявлять чорними.
5. В урні 15 білих і 6 чорних куль. З неї виймають випадково одну кулю, знову повертають її до урни і кулі змішують. Потім виймають другу кулю. Знайти ймовірність того, що обидві вийняті кулі білі.
6. В першій урні лежать 10 білих і 2 чорні кулі, а у другій — 4 білі і 8 чорних куль. З кожної урни вийняли по кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі чорні?
7. На окремих картках написано літери «и», «л», «о», «с», «ч». Після перемішування беруть по одній картці і кладуть послідовно поряд. Обчисліть імовірність того, що з цих літер утвориться слово «число».
8. Три стрільці стріляють по мішені. Імовірності влучення в ціль для першого, другого і третього стрільців відповідно дорівнюють 3/4, 4/5 і 9/10. Знайти ймовірність того, що всі три стрільці одночасно влучать в ціль.
9. На кожній полиці в довільний спосіб розставлено вісім книжок. Обчислити ймовірність того, що три певні книжки виявляться поруч.
10. На трьох автоматичних лініях виготовляються однакові деталі. На першій лінії виготовляється 50 % всіх деталей, на другій — 30 % і на третій — 20 %. При цьому на першій лінії виготовляється 0,025 нестандартних деталей, на другій — 0,02 і на третій — 0,015. Знайти ймовірність того, що випадково взята з готової продукції деталь виявиться стандартною.
11. Монету підкидають 10 раз. Яка ймовірність того, що при цьому «герб» випаде 3 рази?
12. В ящик покладено 60 стандартних і 40 нестандартних деталей. Знайти ймовірність того, що з узятих випадково двох деталей одна виявиться стандартною, а друга нестандартною.
Індивідуальна робота
Варіант І
1.
Довести тотожність
2.
Розв’язати рівняння
3.
Розв’язати рівняння
.
4. Талони, скручені в трубочку, пронумеровано всіма двоцифровими числами. Випадково беруть один талон. Яка ймовірність того, що номер узятого талона складається з однакових цифр?
5. В ящику містяться деталі, з яких 12 виготовлено на першому верстаті, 20 — на другому і 16 — на третьому. Імовірність того, що деталі, виготовлені на першому, другому і третьому верстатах, відмінної якості, відповідно дорівнює 0,9; 0,8 і 0,6. Знайти ймовірність того, що взята випадково деталь виявиться відмінної якості.
Варіант ІІ
1.
Довести тотожність
2.
Розв’язати рівняння
3.
Розв’язати рівняння
4. В урні 12 куль. Серед цих куль 3 білі і 9 чорних. Яка ймовірність того, що випадкового вийнята куля виявиться білою?
5. На двох поточних лініях виготовляються однакові вироби, які надходять до ВТК. Виробнича потужність першої поточної лінії вдвічі більша, ніж другої. Перша поточна лінія в середньому виготовляє 70 %, а друга — 90 % виробів 1-го ґатунку. Випадково взятий на перевірку виріб виявиться 1-го ґатунку. Знайти ймовірність того, що цей виріб виготовлено на першій поточній лінії.