18.6. Повторення випробувань. Формула Бернуллі

Якщо здійснюються випробування, при яких імовірність появи події в кожному з них не залежить від результатів цих випробувань, то такі випробування називають незалежними віднос­но події А.

Імовірність того, що в незалежних випробуваннях, в яких імовірність появи події дорівнює (де ), подія настане рівно раз (неістотно, в якій послідовності), обчислюють за формулою Бернуллі:

де

Приклад. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі Знайти ймовірність влучення при шести пострілах.

• Тут За формулою Бернуллі знаходимо:

1. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі становить Знайти ймовірність трьох влучень при чотирьох пострілах.

2. Схожість насіння оцінюється ймовірністю 0,8. Яка ймовірність того, що з п’яти посіяних насінин проростуть три?

3. При обробці деталей на верстаті в середньому 4 % з них бувають з дефектами. Яка ймовірність того, що кожні дві деталі з 30 узятих на перевірку виявляться з дефектами?

Мішані задачі

1. Розв’язати рівняння:

1) 2)

3) 4)

5)

2. Розв’язати нерівності: 1) 2)

3. Кількість комбінацій з елементів по 4 відноситься до кіль­кості комбінацій з елементів по 5, як 5 : 18. Знайти .

4. В ящику 6 білих і 4 чорні кулі. Виймають одну за одною дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі виявлять чорними.

5. В урні 15 білих і 6 чорних куль. З неї виймають випадково одну кулю, знову повертають її до урни і кулі змішують. Потім виймають другу кулю. Знайти ймовірність того, що обидві вийняті кулі білі.

6. В першій урні лежать 10 білих і 2 чорні кулі, а у другій — 4 білі і 8 чорних куль. З кожної урни вийняли по кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі чорні?

7. На окремих картках написано літери «и», «л», «о», «с», «ч». Після перемішування беруть по одній картці і кладуть послідовно поряд. Обчисліть імовірність того, що з цих літер утвориться слово «число».

8. Три стрільці стріляють по мішені. Імовірності влучення в ціль для першого, другого і третього стрільців відповідно дорівнюють 3/4, 4/5 і 9/10. Знайти ймовірність того, що всі три стрільці одночасно влучать в ціль.

9. На кожній полиці в довільний спосіб розставлено вісім книжок. Обчислити ймовірність того, що три певні книжки виявляться поруч.

10. На трьох автоматичних лініях виготовляються однакові деталі. На першій лінії виготовляється 50 % всіх деталей, на другій — 30 % і на третій — 20 %. При цьому на першій лінії виготовляється 0,025 нестандартних деталей, на другій — 0,02 і на третій — 0,015. Знайти ймовірність того, що випадково взята з готової продукції деталь виявиться стандартною.

11. Монету підкидають 10 раз. Яка ймовірність того, що при цьому «герб» випаде 3 рази?

12. В ящик покладено 60 стандартних і 40 нестандартних деталей. Знайти ймовірність того, що з узятих випадково двох деталей одна виявиться стандартною, а друга нестандартною.

Індивідуальна робота Варіант і

1. Довести тотожність

2. Розв’язати рівняння

3. Розв’язати рівняння .

4. Талони, скручені в трубочку, пронумеровано всіма двоцифровими числами. Випадково беруть один талон. Яка ймовірність того, що номер узятого талона складається з однакових цифр?

5. В ящику містяться деталі, з яких 12 виготовлено на першому верстаті, 20 — на другому і 16 — на третьому. Імовірність того, що деталі, виготовлені на першому, другому і третьому вер­статах, відмінної якості, відповідно дорівнює 0,9; 0,8 і 0,6. Знайти ймовірність того, що взята випадково деталь виявиться відмінної якості.