17.3. Дії з комплексними числами

1. Додавання і віднімання. Якщо , то .

Додавання (віднімання) комплексних чисел аналогічне додаванню векторів :

.

Приклад. .

2. Множення. При множенні комплексних чисел варто пам’ятати, що . Отже, маємо:

.

Приклад. .

Добуток комплексно-спряжених чисел завжди являє собою дійсне невід’ємне число:

.

3. Ділення комплексних чисел. Якщо дільник с — дійсне число, то

.

Якщо дільник — комплексне число , то ділення записують у вигляді дробу і знаменник множать на комплексно-спряжене число:

.

Приклад. .

4. Добування квадратного кореня. Шукаємо значення

.

Дістаємо систему алгебраїчних рівнянь:

.

Далі розв’язуємо таку систему рівнянь:

.

Потрібно врахувати, що . Якщо , то мають однакові знаки. Якщо , то мають різні знаки.

Остаточно знаходимо формулу:

.

Приклад. Розв’язати квадратне рівняння

.

• Знаходимо дискримінант .

.

Розв’язуємо системи рівнянь:

.

Дістаємо нову систему рівнянь:

.

Остаточно знаходимо розв’язок:

.

17.4. Дії з комплексними числами у тригонометричній формі

1. Множення. Дано два комплексних числа

.

Знаходимо їхній добуток:

(1)

Отже, маємо правило: модуль добутку дорівнює добутку модулів співмножників; аргумент добутку дорівнює сумі аргументів співмножників.

2. Ділення. Як і раніше, дістаємо:

.

Отже, модуль відношення чисел дорівнює відношенню модулів цих чисел; аргумент відношення дорівнює різниці аргументів чисельника і знаменника.

3. Піднесення до степеня. З формули (1) одержимо формулу

.

Зокрема, при формулу Муавра:

. (2)

Приклад. При формула (2) набирає вигляду:

.

Звідси знаходимо відомі формули:

.

При маємо

,

звідки дістаємо:

.

4. Добування кореня -го степеня. Запишемо таку рівність:

,

а далі піднесемо її до -го степеня:

,

звідки знаходимо .

Дістаємо формулу:

(3)

.

Усі значення коренів

містяться на колі радіуса .

Точки поділяють це коло на рівних частин.

Приклад. Розв’язати рівняння .

• Згідно з формулою (3) маємо:

.

У результаті знаходимо всі чотири розв’язки рівняння:

;

.

17.5. Показникова функція. Формули Ейлера

Найпростішою і водночас найважливішою є показникова функція при основі . Число називається числом Ейлера. Значення показникової функції е^z можна знайти з розкладу її у степеневий ряд:

. (1)

Ряд (1) швидко збігається при достатньо малих значеннях . Якщо значення велике, то можна використовувати формулу

, (2)

з якої знаходимо рівність

,

придатну для обчислення при великих значеннях .

Значення показникової функції можна знайти за формулою:

. (3)

Зокрема, при з (3) випливає формула Ейлера:

. (4)

Значення показникової функції при довільному комплексному значенні аргументу знаходять за формулою

. (5)

Приклад. Обчислити е^{2 + 3і}.

• e^{2 + 3i} = e² e³ⁱ = e²(cos 3 + i sin 3) =

= – 7,315110095 + + i1,042743656. 

Замінюючи в (4) на , дістаємо таку формулу:

. (6)

Додаючи і віднімаючи почленно формули (4), (6), знаходимо інші формули Ейлера:

. (12)

Ці формули можна використовувати для виведення різних тригонометричних формул.

Приклад.З формул (7) дістаємо:

,

,

.

Аналогічно знаходимо:

,

,

.