18.3. Теорема додавання ймовірностей

Теорема додавання ймовірностей несумісних подій. Імовірність появи принаймні однієї з кількох несумісних подій дорів­нює сумі ймовірностей цих подій:

(1)

(2)

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій. Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх одночасної появи:

(3)

Для трьох сумісних подій виконується така рівність:

(4)

Подію, протилежну події А (тобто ненастання події А), позначають Сума ймовірностей двох протилежних подій дорівнює одиниці:

(5)

Імовірність настання події , якщо подія вже відбулася, називається умовною ймовірністю події А за умови В і позначається або

Якщо і — незалежні події, то

Події — називаються незалежними у сукупності, якщо ймовірність кожної з них не змінюється у зв’язку з настанням або ненастанням інших подій (кожної зокрема або в будь-якій їх комбінації).

Приклад. У ящику навмання розкладено 20 деталей, причому п’ять із них стандартні. Робітник бере випадково три деталі. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з узятих деталей виявиться стандартною (подія ).

• 1-й спосіб. Очевидно, що хоча б одна з узятих деталей виявиться стандартною, якщо відбудеться будь-яка з трьох несуміс­них подій: — одна деталь стандартна, дві нестандартні; — дві деталі стандартні, одна нестандартна і — три деталі стандартні.

Таким чином, подію можна подати у вигляді суми цих трьох подій: За теоремою додавання маємо Знаходимо ймовірність кожної з цих подій

Додавши знайдені значення, дістанемо

2-й спосіб. Події (хоча б одна з трьох узятих деталей виявилася стандартною) і (жодна з узятих деталей не виявилася стан­дартною) протилежні, тому , або

Імовірність появи події така:

Таким чином, шукана ймовірність

Приклад. Знайти імовірність того, що випадково взяте двоциф­рове число виявиться кратним або 3, або 5, або обом цим числам одночасно.

• Нехай — подія, яка полягає в тому, що випадково взяте двоцифрове число виявиться кратним 3, а — у тому, що воно кратне 5. Знайдемо Оскільки і — сумісні події, то скористаємося формулою (3):

Усього існує 90 двоцифрових чисел: 10, 11, …, 98, 99. З них 30 кратні 3 (сприяють настанню події ); 18 — кратні 5 (сприяють настанню події ) і 6 — кратні одночасно 3 і 5 (сприяють настанню події ). Таким чином тобто

1. У ящику навмання розкладено 10 деталей, з яких 4 нестандартні. Контролер узяв випадково 3 деталі. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з чотирьох узятих деталей виявилась стандартною.

2. В урні містяться 10 білих, 15 чорних, 20 синіх і 25 червоних куль. Знайти ймовірність того, що навмання вийнята куля виявиться: 1) білою; 2) чорною або червоною.

3. Знайти ймовірність того, що випадково взяте двоцифрове число виявиться кратним або 4, або 5, або обом цим числам одночасно.

18.4. Теореми множення ймовірностей

Теорема множення ймовірностей незалежних подій. Імовірність одночасного настання двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

(1)

Імовірність появи деяких подій, незалежних у сукупності, обчислюється за формулою:

(2)

Теорема множення ймовірностей залежних подій. Імовірність одночасного настання двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності настання однієї з них на умовну ймовірність другої:

(3)

Приклад. В одній урні містяться 4 білі і 8 чорних куль, в другій — 3 білі і 9 чорних. З кожної урни взяли по кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі виявляться білими.

• Нехай — поява білої кулі з першої урни, а — поява білої кулі з другої урни. Очевидно, що події і — незалежні. Знайдемо За формулою (1) дістаємо:

Приклад. В ящику містяться 12 деталей, з яких 8 стандартні. Робітник бере випадково одну за другою дві деталі. Знайти ймовірність того, що обидві деталі виявляться стандартними.

• Введемо такі позначення: — перша взята деталь стандартна; — друга взята деталь стандартна. Імовірність того, що перша деталь стандартна, становить Імовірність того, що друга взята деталь виявиться стандартною за умови, що була стандартною перша деталь, тобто умовна ймовірність події дорівнює

Імовірність того, що обидві деталі виявляться стандартними, знаходимо за теоремою множення ймовірностей залежних подій:

1. Робітник обслуговує два автомати, що працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що протягом години перший автомат не потребуватиме уваги робітника, дорівнює 0,8, а для другого автомата ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що протягом години жодний з автоматів не потребуватиме уваги робітника.

2. В урні містяться 6 куль, з яких 3 білі. Випадково взято одну за другою дві кулі. Обчислити ймовірність того, що обидві кулі виявляться білими.

3. В урні містяться 10 білих і 6 чорних куль. Знайти ймовірність того, що три випадково взяті одна за одною кулі виявляться чорними.