Безліч рішень надано на рис. 10.1

Рис. 10.1

Приклад. Знайдемо рішення системи рівнянь

Нехай Приходимо до системи рівнянь

яка має рішення:

Нехай Приходимо до системи рівнянь

яка має рішення:

8. Система рівнянь і нерівностей, визначальне умовною екстремуму

Розглянемо спочатку задачі на безумовний екстремум. Яка має мінімум функцій

Необхідні умовні екстремуму: так як .

Заходиться мінімум функції на інтервалі . Оскільки стаціонарна точка не лежить на відрізку [- 3;0], то мінімум функції досягається на кінцях відрізка.

Оскільки то .

Приклад. Розв’язати систему

і знайти найменше значення суми .

Розв’язок. Знаходимо значення і знаходимо суму Із умови знаходимо рівняння При цьому зроблена нерівність

Другий спосіб рішення складається рішенні нерівності

Стаціонарна точка знаходиться на відрізку [- 3;2] і тому

Приклад. Знайдіть найменше значення де що задовольняє систему

Знаходимо з першого рівняння і нерівність прийме вид , .

; , .

Оскільки стаціонарна крапка знаходиться поза проміжком припустимих значень, те .

Приклад. Нехай задовольняють системі

Знайти найменше значення суми .

З перших двох рівнянь знаходимо:

.

Знаходимо суму

; , .

Стаціонарна крапка знаходиться на відрізку . Тому , .

10.3. Системи рівнянь із трьома невідомими

1. Екстремум функції нескельних перемінних

Якщо число рівнянь менше числа невідомих то відшукання невідомих зв'язане з відшуканням чи мінімуму максимуму функції декількох перемінних.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Функція має єдиний мінімум у крапці (1; 2; 3) і цей мінімум дорівнює нулю. Тому рівняння має рішення .

Приклад. Вирішити систему рівнянь

,

.

Перші рівняння можна записати у виді

.

З обліком другого рівняння .

Приклад. Вирішимо систему рівнянь

,

.

Перші рівняння помножимо на 2 і віднімемо з першого рівняння. Одержимо рівняння

чи

.

Приклад. Вирішити систему рівнянь

,

.

Крім , одержимо рівняння

.

Приведемо ще кілька прикладів рішення системи рівнянь за допомогою відшукання екстремуму функції.

Приклад. Вирішити систему рівнянь

,

,

.

Складемо два останніх рівняння й одержимо рівняння

чи

Звідси знаходимо:

Усі невідомі мають один знак тому що

.

З першого рівняння знаходимо рішення .

Приклад. Вирішити систему рівнянь

,

,

.

Перемноживши рівняння одержимо: .

Якщо , то маємо рішення .

При відшуканні іншого рішення при одержимо рівняння

.

Ліва частина рівняння має мінімум у крапці і цьому мінімумі дорівнює 6. Система має єдине рішення .

2. Симетричні системи рівнянь

Визначення. Функція називається симетричний якщо значення функції не міняється при будь-якій перестановці аргументів.

Приведемо приклади симетричних функцій:

система рівнянь називається симетричної, якщо всі рівняння системи симетричні. Розглянемо симетричну систему рівнянь.

,

,

. (14)

Нехай — корені кубічного рівняння

Отже, якщо складемо кубічне рівняння

(15)

і знайдемо корені рівняння, те ці корені є значеннями невідомих у системі (14).

Приклад. Знайти рішення системи рівнянь

,

,

.

Складемо кубічне рівняння (15)

.

яке має корені . Отже вихідна система рівнянь має рішення

.

Ці рішення вийде перестановкою невідомих в одному з рішень.

Прийме. Вирішити систему рівнянь

,

,

.

Друге рівняння перетвориться до виду

.

Кубічне рівняння (15) приймає вид

, .

Отже, система рівнянь має рішення

.

Будь-яку симетричну систему рівнянь можна привести до виду (14).

Приклад. Вирішимо систему рівнянь

,

,

.

Зведемо перше рівняння в квадрат

і використовує друге рівняння системи. Одержимо рівність

.

Рівняння (15) прикмет вид

і має рішення: . Вихідна система рівнянь має рішення .

Приклад. Вирішимо симетричну систему рівнянь

,

, (16)

.

Щоб скласти кубічне рівняння (15) досить знайти значення вираження .

Зводимо перше рівняння системи (16) у квадрат.

.

Знаходимо значення вираження: , що помножимо на перше рівняння системи (16).

Одержимо рівність

,

відкіля знаходимо значення вираження

. (17)

Перемножимо перші і другі рівняння системи (16).

.

За допомогою рівняння (17) знаходимо: .

Тепер можна скласти рівняння (15).

, .

Вихідна система має рішення

.

3. Системи рівнянь симетричні щодо двох незмінних

Нехай рівняння системи

не змінюються при перестановці . Тоді будь-яку функцію можна виразити через . З двох рівнянь системи знаходять вираження через і підставляють у третє рівняння. Приходимо до одного рівняння лише для невідомого .

Приклад. Вирішити систему рівнянь

,

,

.

З двох перших рівнянь знаходимо вираження

підставляючи які в останнє рівняння, знаходимо

.

Із системи рівнянь

знаходимо рішення: .

Приклад. Вирішимо систему рівнянь

12