18.2. Випадкові події, імовірність подій

1. Випадкові події. Результат вивчення того чи іншого явища на підставі спостереження або досліду, тобто випробування (за незмінних умов) називається подією.

Якщо подія за даних умов може відбутися або не відбутися, то вона називається випадковою. Якщо подія неодмінно має відбутися, її називають достовірною, а якщо вона в жодному разі не може відбутися, — неможливою.

Події називаються несумісними, якщо в кожному випробуванні можлива поява тільки однієї з них. Події називаються суміс­ними, якщо за даних умов поява однієї з цих подій не виключає появи іншої в тому самому випробуванні.

Події називають протилежними, якщо вони як єдино можливі результати випробування несумісні.

Імовірність події розглядається як міра об’єктивної можливості появи випадкової події.

2. Класичне означення імовірності. Імовірністю події А називається відношення кількості m результатів випробувань, що сприяють настанню події А, до кількості всіх можливих результатів випробувань:

Імовірність будь-якої події не може бути меншою від нуля і більшою від одиниці, тобто Неможливій події відповідає нульова ймовірність: а достовірній — одинична ймовірність:

Приклад. У лотереї з 1000 білетів існує 200 виграшних. Беруть навмання один білет. Чому дорівнює ймовірність того, що цей білет буде виграшним?

• Загальна кількість різних можливих результатів випробування Кількість результатів, що сприяють отриманню виграшу, Згідно з формулою (11) дістаємо:

Приклад. З урни, в якій містяться 5 білих і 3 чорних кулі, нав­мання витягають одну з них. Знайти ймовірність того, що куля виявиться чорною.

• Позначимо подію, що полягає в появі чорної кулі, через А. Загальна кількість можливих результатів Кількість результатів, що сприяють появі події А, дорівнює 3. За формулою (11) дістаємо:

Приклад. З урни, в якій містяться 12 білих і 8 чорних куль, навмання витягають випадково дві кулі. Яка імовірність того, що обидві кулі виявляться чорними?

• Позначимо подію, що полягає в появі двох чорних куль, через А. Загальна кількість можливих результатів випробування дорівнює кількості комбінацій з 20 елементів по два:

Кількість результатів, що сприяють події А, така:

За формулою (11) знаходимо ймовірність появи двох чорних куль:

Приклад. У партії з 18 деталей маємо 4 бракованих. Навмання беруть 5 деталей. Знайти ймовірність того, що з цих 5 деталей дві виявляться бракованими.

• Кількість усіх однаково можливих незалежних результатів випробування дорівнює кількості комбінацій з 18 по 5:

Обчислимо кількість результатів, що сприяють події А. Серед 5 узятих навмання деталей має бути три придатні і дві браковані. Кількість способів вибору двох бракованих деталей із 4 наявних бракованих дорівнює кількості комбінацій із 4 по 2:

.

Кількість способів вибору трьох придатних деталей із 14 наявних придатних відповідно така:

Будь-яка група придатних деталей може комбінуватися з будь-якою групою бракованих деталей, тому загалом можлива кількість таких комбінацій

Шукана ймовірність події дорівнює відношенню кількості результатів що сприяють цій події, до кількості всіх рівноможливих незалежних результатів:

1. У ящику з деталями 300 деталей 1-го ґатунку, 20 деталей 2-го ґатунку і 50 деталей 3-го ґатунку. Навмання беруть одну з деталей. Чому дорівнює ймовірність взяти деталь 1-го, 2-го або 3-го ґатунку?

2. В урні містяться 20 білих і 15 чорних куль. Навмання беруть одну кулю, яка виявляється білою, і відкладають її. Після цього беруть ще одну кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля також виявиться білою.

3. В урні містяться 7 білих і 5 чорних куль. Знайти ймовірність того, що: 1) випадково взята куля виявиться чорною; 2) дві випад­ково вийняті кулі виявляться чорними.

4. Вважаючи випадіння будь-якої грані грального кубика однаково ймовірною, знайдіть імовірність випадіння грані з непарною кількістю балів.

5. У коробці є 30 лотерейних білетів, з яких 26 без виграшів. Випадково беруть одночасно 4 білети. Знайти ймовірність того, що з них два виявляться виграшними.