18.5. Формула повної імовірності. Формула Баєса

Нехай події (гіпотези) утворюють повну групу подій і в разі настання кожної з них, наприклад подія може настати з деякою умовною ймовірністю Тоді ймовірність настання події дорівнює сумі добутків імовірності кожної з гіпотез на відповідну умовну ймовірність події :

(1)

де

Формула (1) називається формулою повної імовірності.

Нехай подія може настати лише за умови появи однієї з несумісних подій (гіпотез) які утворюють повну групу подій. Якщо подія вже відбулася, то ймовірності гіпотез можуть бути переоцінені за формулою Баєса (формула ймовірності гіпотез):

(2)

де — імовірність кожної з гіпотез після випробування, у результаті якого відбулася подія ; — умовна ймовірність події після настання події а — імовірність, обчислювана за формулою повної ймовірності (1).

Приклад. На склад надійшли деталі, виготовлені на трьох вер­статах. На першому верстаті виготовлено 40 % всіх деталей, на другому — 35 % і на третьому 25 %, причому на першому верста­ті було виготовлено 90 % деталей 1-го ґатунку, на другому — 80 % і на третьому — 70 %. Яка ймовірність того, що взята випад­ково деталь виявиться 1-го ґатунку?

• Введемо такі позначення: — деталь виготовлено на першому верстаті, — на другому верстаті і — на третьому верстаті; подія — деталь виявилася 1-го ґатунку. З умови випливає, що і Таким чином,

Приклад. У першому ящику містяться 8 білих і 6 чорних куль, а другому — 10 білих і 4 чорних. Випадково вибирають ящик і кулю. Відомо, що вийнята куля — чорна. Знайти ймовірність того, що було взято перший ящик.

• Введемо позначення: — було взято перший ящик; — було взято другий ящик; — при проведенні двох послідовних випробувань з вибору ящика і вибору кулі було взято чорну кулю. Тоді Імовірність витягти чорну кулю, якщо взято перший ящик, становить Імовірність витягти чорну кулю з другого ящика дорівнює

За формулою повної ймовірності знаходимо ймовірність того, що витягнута куля виявилася чорною:

Шукана ймовірність того, що чорну кулю було витягнуто з першого ящика, обчислюється за формулою Баєса:

1. У ящику складено деталі: 16 деталей з першої ділянки, 24 — із другої і 20 — із третьої. Імовірність того, що деталь, виготовлена на другій ділянці, відмінної якості, дорівнює 0,6, а для деталей, виготовлених на першій і третій ділянках відповідно, ймовірність дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що випадково витягнута деталь виявиться відмінної якості.

2. На двох автоматах виробляються однакові деталі, які надходять на спільний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більша, ніж другого. Перший автомат у середньому виробляє 80 % деталей 1-го ґатунку, а другий — 90 %. Взята випадково з конвеєра деталь виявилася 1-го ґатунку. Знайти ймовірність того, що цю деталь виготовлено першим автоматом.

3. Є три партії деталей, по 30 штук у кожній. Кількість стандартних деталей у першій, другій і третій партіях відповідно дорівнюють 30, 25 і 20. Із довільно взятої партії випадково витягнуто деталь, що виявилася стандартною. Деталь повертають у партію і вдруге з тієї самої партії випадково беруть деталь, яка також виявляється стандартною. Знайти ймовірність того, що деталі було взято з третьої партії.