Производная сложной функции

Теорема. Пусть функция имеет производную в точке, функцияимеет производную в точке. Тогда сложная функцияимеет производную в точкеи справедлива следующая формула:.

Формула нахождения производной сложной функции.

Предположим, что функция y = f(x) дифференцируема в некотором интер­вале (а, в). Тогда ее производная f'(x) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции y = f(x)и обозначается y'' или f''(x).

Таким образом, f''(x) = (f'(x)) '. При этом f'(x) называется первой произ­водной или производной первого порядка функции f(x).

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и так далее порядков. Вообще, производной n –го порядка функции y = f(x) в точке х называ­ется первая производная производной (n-1)-го порядка функции y = f(x) при ус­ловии, что в точке х существуют все производные от первого до n –го порядков. Обозначение: y⁽ⁿ⁾ или f⁽ⁿ⁾(x). Таким образом, f⁽ⁿ⁾(x) = ( f^(n-1)(x)) '.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

28. Необходимые и достаточные условия монотонности функции. 

Теорема (достаточное условие возрастания (убывания) функции). Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то она убывает на этом промежутке.

• Опр. Точка x₀ называется точкой максимума функции f(х), если в некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство f(х) <f(x₀).

• Опр. Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство f(х) >f(x₀ ).

29. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на от-резке, интервале.

Необходимое условие экстремума.

Для того чтобы функция у = f(x) имела экстремум в точке x₀ необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (f'(x₀ ) = 0) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими (или стационарными).

Теорема. Если при переходе через точку х₀ производная дифференцируемой функции у = f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х₀ есть точка максимума функции у = f(x), а если с минуса на плюс, то точка х₀ есть точка минимума.

Схема исследования функции у=f(x) на экстремум

1°. Находим производную у' = f'(x).

2°. Находим критические точки функции, в которых производная f'(х)= 0 или не существует.

3°. Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки и делаем вывод о наличии экстремумов функции.

4°. Находим экстремумы (экстремальные значения) функции.

Теорема. Если первая производная f'(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х₀, а вторая производная в этой точке f"(х₀) положительна, то х₀ есть точка минимума функции f(x); если f"(х₀) отрицательна, то х₀ — точка максимума.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке и интервале

Согласно теореме Вейерштрасса, если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее или наименьшее значение функции может достигаться как в точках экстремума, так и в точках на концах отрезка.

Схема отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке

1°. Находим производную f'(x).

2°. Определяем критические точки функции, в которых f'(x) = О или не существует.

3°. Находим значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбираем из них наибольшее и наименьшее.

Замечание. Если функция у = f(x) непрерывна на интервале (а, b), то она может не принимать на нем наибольшее и наименьшее значения.

В частном случае, если дифференцируемая функция на интервале (а, b) имеет лишь одну точку максимума (или одну точку минимума), то наибольшее (или наименьшее) значение функции совпадает с максимумом (или минимумом) этой функции

30. Выпуклость функции. Точки перегиба.

Выпуклость функции. Точки перегиба

Опр. 1. Функция у = f(x) называется выпуклой вниз на промежутке X, если для любых двух значений из этого промежутка выполняется неравенство:

Опр. 2. Функция называется выпуклой вверх на промежутке X, если для любых двух значений из этого промежутка выполняется неравенство

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Опр. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Точки перегиба — это точки экстремума первой производной.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х₀ равна нулю, т.е. f"(x)= 0.

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная f"(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х₀ меняет свой знак, то х₀ есть точка перегиба ее графика.

Схема исследования функции на выпуклость и наличие точек перегиба

1. Находим вторую производную функции f"(x).

2. Находим точки, в которых вторая производная f"(х)=0 или не существует.

3. Исследуем знак второй производной слева и справа от найденных точек и делаем вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Находим значения функции в точках перегиба.

31. Асимптоты графика функции.

Асимптоты функции

Асимптотой графика функции у =f(х) называется прямая, обладающая таким свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат

Теорема 1. Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции слева или справа равен бесконечности. Тогда прямая х = х₀ является вертикальной асимптотой графика функции у=f(x).

Теорема 2. Пусть функция у=f(х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая у =b есть горизонтальная асимптота графика функции у = f(x).

Теорема 3. Пусть функция у = f(x) определена при достаточно больших х, и существуют ее конечные пределы , . Тогда прямая у = kx +b является наклонной асимптотой графика функции у = f(x).

Общий план исследования функций

Исследование функций состоит в нахождении:

1) области определения функции;

2) четности( нечетности) функции;

3) точек разрыва функции, вертикальных асимптот;

4) горизонтальных и наклонных асимптот;

5) интервалов монотонности функции, точек максимума и минимума;

6) интервалов выпуклости функции, точек перегиба;

7) точек пересечения с осями, дополнительных точек.

32. Схема исследования функции и построение ее графика

Общий план исследования функций

Исследование функций состоит в нахождении:

1) области определения функции;

2) четности( нечетности) функции;

3) точек разрыва функции, вертикальных асимптот;

4) горизонтальных и наклонных асимптот;

5) интервалов монотонности функции, точек максимума и минимума;

6) интервалов выпуклости функции, точек перегиба;

7) точек пересечения с осями, дополнительных точек.

33. Применение производной в экономике (предельные показатели в микроэко-номике, максимизация прибыли, закон убывающей эффективности производ-ства).