3. Показательная функция.

Функция вида , гденазываетсяпоказательной функцией.

Коэффициент а - положительное число, указывает на возрастание или убывание функции.

Свойства функции:

1. Д(у)=R.

2. Е(у)= .

3. Функция возрастает (а>1), убывает (а<1) на всей области определения.

4. График функции пересекает ось ординат в точке (0;1).

5. Функция непрерывна на всей области определения, дифференцируема и производная равна .

4. Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида

Число а определяет расположение графика.

Вместо логарифмической функции с произвольным основанием удобно рассматривать функцию вида .

Так как , то указанные функции исчерпывают все логарифмические функции.

Свойства функции у=ln x.

1. Д(у)=.

2. Е(у)=R.

3. Функция принимает нулевое значение при х=1.

4. Функция возрастает на всей области определения.

5. Функция является непрерывной на всей области определения, дифференцируема и .

5. Экспоненциальная функция

Функция, обратная функции называется экспоненциальной и записывается уравнением .

График функции симметричен графику функции (см. рис.22) относительно прямой у=х.

Свойства функции: (смотри свойства показательной функции).

6. Степенная функция

Степенной функцией с действительным показателем называется функция вида , где b-действительное число, х>0.

Примеры степенных функций: .

Коэффициент b определяет положение графика на координатной плоскости.

Свойства функции.

1. Функция определена для х>0.

2. Е(у)=.

3. Функция возрастающая, если b>0 и убывающая, если b<0.

4. Функция непрерывна на всей области определения, дифференцируемая и .

Пример использования функций в экономике.

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные пе­риоды времени.

Наряду с линейными используются нелинейные функции: дробно-рациональные, степенные (квадратичная, кубическая и т.д.). показательные (экспоненциальные), логарифмические и др. Периодичность, колеблемость ряда экономических процессов позволяет также применять тригонометрические функции.

Наиболее часто в экономике используются следующие функции.

• Функция полезности (функция предпочтений) — в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

• Производственная функция — зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

• Функция выпуска (частный вид производственной функции) — зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

• Функция издержек (частный вид производственной функции) — зависимость издержек производства от объема выпуска продукции.

• Функции спроса, потребления, предложения — зависимость объема спроса, потребления, предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.)

20. Предел функции в бесконечности и точке.

Предел функции в бесконечности и точке

С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменная n, возрастая, принимает лишь натуральные значения, то во втором случае переменная x, изменяясь, принимает любые значения.

Опр. Число А называется пределом функции приx, стремящемся к бесконечности, если для любого существует такое положительное числоS (зависящее только от ), что при всехвыполняется неравенство

.

Пусть функция задана в окрестности точкиа, кроме, быть может, самой точки а.

Опр. Число А называется пределом функции приx, стремящемся к а, если для любого существует такое положительное число(зависящее только от), что при всехx, не равных а и удовлетворяющих условию выполняется неравенство

.

Замечание 1. Определение предела не требует существования функции в самой точке а.

Замечание 2. Если при стремлении x к а переменная x принимает лишь значения, меньшие а, или, наоборот, большие а, и при этом функция стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева и справа.

Функция имеет в точке а предел тогда и только тогда, когда в этой точке существует левый и правый предел и они равны. В таком случае предел функции равен односторонним пределам.

21. Основные теоремы о пределах. Признаки существования пределов.