- •Операции над множествами
- •Основные свойства функций.
- •Основные элементарные функции. Их свойства и графики
- •1. Линейная функция.
- •Свойства линейной функции
- •2. Квадратичная функция.
- •3. Показательная функция.
- •4. Логарифмическая функция
- •6. Степенная функция
- •Пример использования функций в экономике.
- •Предел функции в бесконечности и точке
- •Теоремы о пределах функций
- •Два замечательных предела
- •Свойства функций, непрерывных в точке
- •Классификация точек разрыва функций
- •Определение производной
- •Геометрический смысл производной
- •Производная сложной функции
Классификация точек разрыва функций
Устранимый разрыв.
Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если предел функции в этой точке существует, но в точке а функциялибо не определена, либо ее значениене равно пределу в этой точке
Разрыв первого рода.
Точка а называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Разрыв второго рода.
Точка а называется точкой разрыва второго рода функции Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
25. Производная: определение, механический и геометрический смысл. Уравне-ние касательной к кривой.
Определение производной
Пусть функция определена на некотором промежутке Х. Придадим значению аргумента в точке произвольное приращение так, чтобы точка также принадлежала Х. Тогда соответствующее приращение функции составит .
Опр. Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при(если этот предел существует).
Если в некоторой точке предел бесконечен, то говорят, что в этой точке функция имеет бесконечную производную. Если функция имеет производную в каждой точке множества Х, то производнаятакже является функцией от аргумента х, определенной на Х.
Геометрический смысл производной
Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.
Опр. Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МN, когда точка N стремится к точке М по кривой.
Уравнение пучка прямых, проходящих через точку , имеет вид
Угловой коэффициент секущей равен
Тогда угловой коэффициент касательной равен
Отсюда следует наглядный вывод о том, что . В этом и состоитгеометрический смысл производной.
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние:x ( t0 + ) -x ( t0 ) = , а еёсредняя скорость равна: va = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называетсямгновенной скоростью v ( t0 ) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).
Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:
26. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементар-ных функций.
Правила дифференцирования.
1. Производная постоянной равна нулю
.
2. Производная аргумента равна единице.
.
3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций.
.
Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
.
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например
.
5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:
Производные основных элементар-ных функций.
1. (C)” = 0, где C = const
2. (xa)” = axa-1, где a не равно 0
3. (ax)” = axln a, где a > 0
4. (ex)” = ex
5. (loga x)” =1/x lna, где a > 0
6. (ln x)” =1/x
7. (sin x)” = cos x
8. (cos x)” = - sin x
9. (tg x)” =1/cos2x
10. (ctg x)” = -1/sin2x
11. (arcsin x)” = 1/~1-x2
12. (arccos x)’ = -1/~1-x2
13. (arctg x)” =1/1+x2
14. (arcctg x)” = -1/1+x2
27. Производная сложной функции. Производные высших порядков.