Теоремы о пределах функций

Пусть и- функции, для которых существуют пределы при:,.

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций.

3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций. В частности постоянный множитель можно выносить за знак предела.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю).

Теорема. Пусть функции определены в некоторой окрестности точки а, за исключением быть может самой точки а, и функцииимеют в этой точке предел, равный А,. Кроме того, пусть выполнены неравенства:. Тогда

22. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.

Два замечательных предела

Теорема (первый замечательный предел). Предел функции в точкеx=0 существует и равен единице, т.е .

Теорема (второй замечательный предел). Предел функции приx стремящемся к бесконечности существует и равен е, т.е.

23. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных в точке.

Понятие непрерывности функции является фундаментальным в математическом анализе.

Опр. Функция называется непрерывной в точке а, если:

1. она определена в точке а;

2. имеет конечный предел при ;

3. предел этой функции в точке а и ее значение в этой точке равны, т.е. .

Опр. Функция называется непрерывной справа (слева) в точке а, если правый (левый) предел этой функции в точке а и ее значение в этой точке равны, т.е.,.

Если функция непрерывна в точке а и слева, и справа, то она непрерывна в этой точке.

Точки, в которых функция не является непрерывной называются точками разрыва.

Теорема. Пусть функции инепрерывны в точке а. Тогда функции,,также непрерывны в точке а (частное при условии.

 

Свойства функций, непрерывных в точке

Поскольку точки непрерывности функции задаются условием , то часть свойств функций, непрерывных в точке , следует непосредственно из свойств пределов. Сформулируем их в виде следующей теоремы

 Теорема 3.1   Пусть функции инепрерывны в точке. Тогда функции,,непрерывны в точке. Если, то функциятакже непрерывна в точке.

•         Доказательство.     Оно сразу же следует из теорем о пределах 2.8, 2.9, 2.10 и следствия 2.5.      

• Как непосредственное следствие этой теоремы получается следующее

Предложение 3.3   Рассмотрим множество всех функций, определённых в некоторой фиксированной окрестности точки и непрерывных в этой точке. Тогда это множество является линейным пространством, то есть замкнуто относительно сложения и умножения на постоянные:

•         Доказательство.     Действительно, постоянные и-- это непpеpывные функции (в любой точке); по пpедыдущей теоpеме тогда непpеpывны в точкепpоизведенияи. Но тогда по этой же теоpеме непpеpывна в точкеи сумма

   Теорема 3.2   Пусть функции и таковы, что существует композиция , . Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в соответствующей точке . Тогда композиция непрерывна в точке .

•   Доказательство.     Заметим, что равенство означает, что прибудет. Значит,

(последнее равенство следует из непрерывности функции в точке ). Значит,

а это равенство означает, что композиция непрерывна в точке .      

• Заметим, что, очевидно, в предыдущих двух теоремах можно было бы заменить базу на односторонние базыилии получить аналогичные утверждения для непрерывности слева или справа:

        Теорема 3.3   Пусть функции инепрерывны слева (справа) в точке. Тогда функции,,непрерывны слева (соотв. справа) в точке. Если, то функциятакже непрерывна слева (спpава) в точке.

  Теорема 3.4   Пусть функция непрерывна слева (справа) в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция непрерывна слева (соотв. справа) в точке .    

24. Точки разрыва функции. Их классификация.

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.

Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Рисунок 1.