Логический квадрат

Некоторые отношения между четырьмя видами категорических суждений графически представляются так называемым логическим квадратом.

В отношении противоречия (контрадикторности) находятся суждения SaP и SoP, SeP и SiP. Они не могут быть одновременно истинными и ложными. Если одно из них истинно, то другое ‒ ложно.

Примеры. Если суждение «Все киты дышат легкими» истинно, то суждение «Некоторые киты не дышат легкими» ложно. Если суждение «Некоторые медведи – не бурые» истинно, то суждение «Все медведи – бурые» ложно.

В отношении противоположности (контрарности) находятся суждения SaP и SeP. Они могут вместе быть ложными, но не могут быть вместе истинными. Если одно из противоположных суждений истинно, то другое ложно.

Примеры. Суждения «Все спортсмены – гроссмейстеры» и «Ни один спортсмен не гроссмейстер» оба ложны. Поскольку суждение «У всех людей есть головы» истинно, то суждение «Ни у одного человека нет головы» ложно. Если суждение «Все металлы не являются газами» истинно, то суждение «Все металлы – газы» ложно.

В отношении частичного совпадения (субконтрарности) могут находиться суждения SiP и SoP. Они не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными.

Примеры. Если суждение «Некоторые овцы – хищники» ложно, то суждение «(По меньшей мере) некоторые овцы не являются хищниками» истинно. суждения же «Некоторые спортсмены – футболисты» и «Некоторые спортсмены не футболисты» оба истинны.

В отношении подчинения находятся попарно суждения SaP и SiP, SeP и SoP. Из подчиняющего суждения логически следует подчиненное: из SaP вытекает SiP и из SeP вытекает SoP. Это означает, что из истинности подчиняющего суждения логически следует истинность подчиненного, и из ложности подчиненного следует ложность подчиняющего.

Примеры. Из суждения «Все киты являются млекопитающими» следует суждение «Некоторые киты млекопитающие», а из суждения «Все металлы не являются сжимаемыми» следует суждение «Некоторые металлы не сжимаемы».

Категорический силлогизм

Категорический силлогизм (или просто: силлогизм) – это дедуктивное умозаключение, в котором из двух категорических суждений выводится новое категорическое суждение.

Логическая теория такого рода умозаключений называется силлогистикой. Она была создана Аристотелем.

В силлогистике выражения «Все ... есть ...», «Некоторые ... есть ...», «Все ... не есть ...» и «Некоторые ... не есть...» рассматриваются как логические постоянные, т.е. берутся как единое целое. Это не суждения, а определенные логические формы, из которых получаются суждения путем подстановки вместо многоточий каких-то имен. Подставляемые имена называются терминами силлогизма.

Существенным является следующее традиционное ограничение: термины силлогизма не должны быть пустыми или отрицательными.

Пример силлогизма.

Все жидкости упруги.

Вода – жидкость.

Вода упруга.

В каждом силлогизме должно быть три термина: меньший, бóльший и средний.

Меньшим термином называется субъект заключения.

В примере таковым является термин «вода».

Бóльшим термином именуется предикат заключения.

В примере таким термином является термин «упруга».

Термин, присутствующий в посылках, но отсутствующий в заключении, называется средним.

В примере таким термином является термин «жидкость».

Меньший термин обозначается обычно буквой S, бóльший – буквой Р и средний – буквой М.

Посылка, в которую входит бóльший термин, называется бóльшей. Посылка с меньшим термином называется меньшей.

Большая посылка записывается первой, меньшая – второй.

Итак, в силлогизм входят три термина:

• S ‒ меньший термин: субъект заключения (входит также в меньшую посылку);

• P ‒ больший термин: предикат заключения (входит также в большую посылку);

• M ‒ средний термин: входит в обе посылки, но не входит в заключение.

Логическая форма приведенного силлогизма такова:

Все М есть Р.

Все S есть М.

Все S есть Р.

В силлогизме, как и во всяком дедуктивном умозаключении, в заключении не может содержаться информация, отсутствующая в посылках. Заключение только развертывает информацию посылок, но не может привносить новую информацию, отсутствующую в них.

В зависимости от положения среднего термина в посылках (является он субъектом или предикатом в большей и меньшей посылках) различаются четыре фигуры силлогизма.

1-яфигура 2-я фигура 3-я фигура 4-я фигура

Бо́льшая посылка: M—P P—M M—P P—M

Меньшая посылка: S—M S—M M—S M—S

Заключение: S—P S—P S—P S—P

Схематически фигуры изображаются так:

По схеме первой фигуры построен силлогизм:

Все птицы (М) имеют крылья (Р).

Все страусы (S) – птицы (М).

Все страусы имеют крылья.

По схеме второй фигуры построен силлогизм:

Все рыбы (Р) дышат жабрами (М).

Киты (S) не дышат жабрами (М).

Все киты не рыбы.

По схеме третьей фигуры построен силлогизм:

Все бамбуки (М) цветут один раз в жизни (Р).

Все бамбуки (М) – многолетние растения (S).

Некоторые многолетние растения цветут один раз в жизни.

По схеме четвертой фигуры построен силлогизм:

Все рыбы (Р) плавают (М).

Все плавающие (М) живут в воде (S).

Некоторые живущие в воде – рыбы.

Посылками и заключениями силлогизмов могут быть категорические суждения четырех видов: SaP, SiP, SeP и SoP.

Модусами силлогизма называются разновидности фигур, отличающиеся характером посылок и заключения.

Всего, с точки зрения всевозможных сочетаний посылок и заключения, в каждой фигуре насчитывается 64 модуса. В четырех фигурах 4 × 64 = 256 модусов.

Силлогизмы, как и все дедуктивные умозаключения, делятся на правильные и неправильные. Задача логической теории силлогизма – систематизировать правильные силлогизмы, указать их отличительные черты.

Из всех возможных модусов силлогизма только 19 модусов являются правильными.

Модусы изучались еще средневековыми школами логики, и для правильных модусов каждой фигуры были придуманы мнемонические имена.

Первую фигуру силлогизма Аристотель считал основной или совершенной. В XIII столетии для запоминания всех девятнадцати модусов и для приведения их к первой фигуре были составлены мнемонические стихи. Их первая строчка перечисляет модусы основной фигуры.

Bаrbara, Celarent, Darii, Ferioque prioris;

Cesare, Camestres, Festino, Baroko, sekundae;

Tertia, Darapti, Disamis, Datisi. Felapton,

Bоcardо, Ferison habet; quarta insuper addit.

Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.

В каждом из этих названий содержатся три гласных буквы. Они указывают, какие именно категорические высказывания используются в модусе в качестве его посылок и заключения.

В приведенных стихах начальные буквы названных модусов указывают на тот модус первой фигуры, к которому надо привести данный модус. Так, Felapton приводится к Ferio, Disamis ‒ к Darii.

Пример. Название Celarent означает, что в этом модусе первой фигуры большей посылкой является общеотрицательное высказывание (SeP), меньшей – общеутвердительное (SaP) и заключением – общеотрицательное высказывание (SeP).

Каждой фигуре силлогизма соответствуют определенные модусы.

1-я фигура		2-я фигура		3-я фигура		4-я фигура
Barbara		Cesare		Darapti		Bramantip
Celarent		Camestres		Disamis		Camenes
Darii		Festino		Datisi		Dimaris
Ferio		Baroco		Felapton		Fesapo
				Bocardo		Fresison
				Ferison

Для оценки правильности силлогизма могут использоваться круги Эйлера, иллюстрирующие отношения между объемами имен.

Пример. Возьмем силлогизм:

Все металлы (М) ковки (Р).

Железо (S) – металл (М).

Железо (S) ковко (Р).

Отношения между тремя терминами этого силлогизма (модус Barbara) представляются тремя концентрическими кругами. Эта схема интерпретируется так: если все М (металлы) входят в объем Р (ковких тел), то с необходимостью S (железо) войдет в объем Р (ковких тел), что и утверждается в заключении «Железо ковко».

Пример.

Все рыбы (Р) не имеют перьев (М).

У всех птиц (S) есть перья (М).

Ни одна птица (S) не является рыбой (Р).

Отношения между терминами данного силлогизма (модус Cesare) представлены на рисунке. Он истолковывается так: если все S (птицы) входят в объем М (имеющие перья), а М не имеет ничего общего с Р (рыбы), то у S (птицы) нет ничего общего с Р (рыбы), что и утверждается в заключении.