18. Основи теорії Максвелла

У 60-х роках дев’ятнадцятого сторіччя Д.К. Максвелл, ґрунтуючись на ідеях Фарадея про електричне і магнітне поля, узагальнив закони, встановлені дослідним шляхом, і створив закінчену теорію єдиного електромагнітного поля. Теорія Максвелла була узагальненням таких найважливіших законів електростатики та електромагнетизму, як теорема Остроградського – Гаусса, закон повного струму і основний закон електромагнітної індукції.

Теорія Максвелла являє собою феноменологічну теорію електромагнітного поля. Це означає, що в ній не розглядається молекулярна будова середовища і внутрішній механізм процесів, що відбуваються в електромагнітному полі. Теорія Максвелла є макроскопічною.

Математичним виразом теорії Максвелла є чотири рівняння Максвелла, які прийнято записувати у двох формах: інтегральній та диференціальній.

Перше рівняння Максвелла в інтегральній формі

Для тлумачення явища електромагнітної індукції в нерухомих провідниках треба зважати на те, що змінне магнітне поле породжує непотенціальне, так зване вихрове електричне поле. Це поле не є електростатичним. Під дією цього поля й виникає індукційний струм в замкненому провіднику. Якщо − напруженість цього індукованого електричного поля, то е.р.с. у замкненому провідному контурі:

ℰ_i (5.115)

Якщо контур нерухомий, магнітний потік може змінитися тільки внаслідок зміни магнітного поля, тобто внаслідок того, що. Тоді замістьℰ_i. можна записати

ℰ_i . (5.116)

Оскільки

,

то

. (5.117)

Циркуляція напруженості індукованого поля вздовж замкненого провідного контура:

. (5.118)

З цього рівняння випливає, що матеріал провідника ніяк не впливає на електричне поле, що в ньому індукується. Тому Максвелл припустив, що закон (5.118) справджується не тільки для провідного контура, але і для будь-якого контура, подумки проведеного в змінному магнітному полі. Тобто із змінним магнітним полем нерозривно зв’язане вихрове індуковане електричне поле, яке не залежить від того, чи є в ньому провідники чи немає.

Перше рівняння Максвелла в інтегральній формі:

Циркуляція вектора напруженості електричного поля вздовж довільного нерухомого замкненого контураL, подумки проведеного в електромагнітному полі, дорівнює взятій з протилежним знаком швидкості зміни магнітного потоку через поверхню S, натягнуту на цей контур (або, що те саме, дорівнює взятому з протилежним знаком потокові вектора через вищевказану поверхню).

Друге рівняння Максвелла в інтегральній формі

Максвелл узагальнив закон повного струму (5.87)

,

припустивши, що змінне електричне поле так само, як і електричний струм, є джерелом магнітного поля. Згідно з теоремою Остроградського – Гаусса потік вектора електричного зміщення через замкнену поверхню:

,

де − алгебраїчна сума вільних електричних зарядів, охоплених замкненою поверхнею .

Здиференціюймо це рівняння за часом:

. (5.119)

Якщо поверхня нерухома і не деформується, то зміна з часом потоку зміщення через поверхню спричиняється тільки зміною вектора із спливанням часу. Тому повну похідну, що стоїть у правій частині рівняння (5.119) можна замінити частинною похідною за часом і диференціювання внести під знак інтеграла:

. (5.120)

Права частина формули (5.120) має розмірність сили струму. З порівняння формули (5.120) з формулою (4.5)

,

яка зв’язує силу струму і густинуструму провідності, випливає, щомає розмірність густини струму. Максвелл запропонував назватигустиною струму зміщення:

. (5.121)

Густина струму зміщення в даній точці простору дорівнює швидкості зміни вектора електричного зміщення (електричної індукції) в даній точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називають фізичну величину, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення через цю поверхню:

. (5.122)

Максвелл узагальнив закон повного струму, додавши в праву частину рівняння (5.87) струм зміщення через поверхню , натягнуту на контур:

. (5.123)

Рівняння (5.123) називають другим рівнянням Максвелла в інтегральній формі:

Циркуляція вектора напруженості магнітного поля вздовж довільного нерухомого замкненого контураL, подумки проведеного в електромагнітному полі, дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через поверхню, натягнуту на цей контур.

Макрострум, що входить в праву частину рівняння (5.123),

,

де − вектор густини макроструму. Використовуючи це співвідношення і (5.122), можна записати друге рівняння Максвелла (5.123) у формі:

, (5.124)

де − густина повного струму, яка дорівнює геометричній сумі густин макроструму і струму зміщення:

. (5.125)

Третє рівняння Максвелла в інтегральній формі

Максвелл узагальнив теорему Остроградського – Гаусса для електростатичного поля. Він припустив, що вона справджується для будь-якого електричного поля, як стаціонарного, так і змінного. Відповідно третє рівняння Максвелла в інтегральній формі має вигляд:

, (5.126)

або

. (5.126 а)

Тут − об’ємна густина вільних зарядів, а інтегрування в правій частині рівняння (5.126 а) здійснюється по об’єму , обмеженому замкненою поверхнею. Третє рівняння Максвелла в інтегральній формі показує, що

Потік вектора електричного зміщення через довільну нерухому замкнену поверхню S, подумки проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному вільному зарядові, що міститься всередині області, обмеженої цією поверхнею.

Четверте рівняння Максвелла в інтегральній формі

Максвелл припустив, що всяке магнітне поле (у вакуумі або середовищі) завжди соленоїдне. Тобто він узагальнив теорему Остроградського – Гаусса на будь-яке магнітне поле

. (5.127)

Магнітний потік через довільну нерухому замкнену поверхню S, подумки проведену в електромагнітному полі, дорівнює нулеві.