3.3.3. Вынужденные колебания
Колебания, которые возникают в системе под действием периодически изменяющейся внешней силы, называются вынужденными колебаниями.
Внешняя сила, действующая на материальную точку, изменяется со временем по закону:
(3.18),
где
- круговая частота колебаний вынуждающей
силы,
- ее амплитудное значение.
Если частота собственных колебаний системы совпадает с частотой вынуждающей силы, амплитуда колебания резко возрастает. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота вынуждающей силы, при которой возникает это явление – резонансной частотой, значение которой можно определить по формуле:
р2=02-2 2 (3.19)
Таким образом, чем меньше коэффициент затухания , тем ближе резонансная частота к собственной частоте системы (при =0 р=0.). График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Степень нарастания амплитуды, или острота кривой резонанса, зависит от коэффициента затухания (резонанс тем острее, чем меньше ).
В практическом отношении роль резонанса может быть как вредной, так и полезной. С одной стороны, при проектировании технических устройств часто требуется избегать возникновения условий, при которых возникает резонанс, во избежание повреждений и разрушений конструкции. Задача эта достаточно сложная, учитывая, что тела обычно имеют несколько собственных частот колебаний и, соответственно, резонансных частот. Вибрации, возникающие при резонансе, часто вредно влияют на людей, вызывая различные функциональные нарушения и ухудшения самочувствия.
С другой стороны, именно существование явления резонанса делает возможным работу голосового аппарата и органов слуха животных и человека.
3.3.4. Дифференциальные уравнения колебаний
Дифференциальные
уравнения колебаний можно получить,
используя динамические уравнения
движения
для различных видов колебаний.
В таблице 3.2 представлены линейные дифференциальные уравнения второго порядка различных видов колебаний и их решения.
Таблица 3.2
|
Уравнение колебаний |
Решение уравнения | ||
|
Векторная Форма |
Скалярная форма |
Дифференциальная Форма | |
|
Свободные незатухающие колебания | |||
|
|
ma=-kx
|
|
x=Acos0t
( |
|
Свободные затухающие колебания | |||
|
|
Ma=-kx-rV
|
|
x=A0e-tcost
( 2=0 2- 2 |
|
Вынужденные колебания | |||
|
|
Ma=-kx-rV +F0cost |
|
x=Acost
( |
)
)
)
3.3.5. Сложное колебание. Гармонический спектр сложного колебания
Сложное колебание может быть представлено как результат сложения простых, или гармонических колебаний, что значительно облегчает его анализ.
Согласно теореме Фурье, любое сложное колебание может быть представлено как сумма простых (гармонических) колебаний, частоты которых кратны частоте сложного колебания. Такое разложение периодической функции на гармонические и, следовательно, разложение различных периодических процессов (механических, электрических и т.п.) на гармонические колебания называется гармоническим анализом.
Совокупность простых колебаний, на которые можно разложить данное сложное колебаний, называется его гармоническим спектром.
Гармонический спектр удобно представить как набор частот отдельных гармоник с указанием их относительных амплитуд.
Установление гармонического спектра является основным приемом при анализе сложного колебания. Автоматически такой анализ делается с помощью специальных приборов, называемых анализаторами. Такие приборы применяются и в медицине при специальных исследованиях колебательных процессов, например записанных на ленте колебаний биопотенциалов головного мозга. Гармонический анализатор используется также в судебно-медицинской практике для гармонического анализа голоса человека.