3.2. Гармонические колебания

Гармоническими называются колебания, при которых изменения колеблющейся величины со временем происходят по закону синуса или косинуса. Гармонические колебания происходят под действием возвращающей силы F_возв., прямо пропорциональной смещению тела x и направленной к положению равновесия.

F_возв. = -kx (3.1)

Возвращающая сила подобна упругой, т.к. пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия. Такие силы, неупругие по природе, но аналогичные по свойствам силам, возникающим при малых деформациях упругих тел, называются квазиупругими.

Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

(3.2)

Данное уравнение является решением дифференциального уравнения для собственных колебаний, о котором будет сказано позже.

Основные кинематические характеристики гармонического колебания:

Смещение x характеризует отклонение от положения равновесия в данный момент времени.

Амплитуда A – максимальное смещение A=x_max

Смещение и амплитуда в системе СИ измеряются в метрах. A=x=м

Период T – время одного полного колебания.

T=t/n (3.3),

где t – время, за которое совершено n колебаний.

Единица измерения периода колебаний – секунда, T=c

Для математического маятника (материальная точка массой m , подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити длиной l) период может быть найден из формулы:

(3.4)

При малых отклонениях от положения равновесия в поле силы тяжести эта система будет совершать (без учета сил сопротивления среды) свободные незатухающие колебания.

Для пружинного маятника (материальная точка массой m , закрепленная на пружине с жесткостью k) период выражается формулой:

(3.5)

Частота колебаний  показывает число колебаний за единицу времени; является величиной, обратной периоду.

=n/t; =1/T (3.6)

Частота колебаний измеряется в герцах. =Гц=с^-1

Циклическая (круговая частота) ₀ показывает число колебаний за 2 сек.

₀=2 f=2 /T (3.7)

Скорость V материальной точки, совершающей гармонические колебания, можно получить, дифференцируя выражение для координаты x по времени t:

(3.8)

Ускорение материальной точки при гармонических колебаниях можно получить, дифференцируя выражение для скорости по времени:

(3.9)

Фаза колебания  характеризует положение колеблющейся системы в любой момент времени, начальная фаза ₀ – в начальный момент времени. С помощью начальной фазы учитывается различие между моментом начала отсчета времени (t=0) и моментом начала колебаний (x=0), если они не совпадают.

=₀+₀t (3.10)

Зная фазу колебаний, можно определить, какая доля периода прошла от начала колебаний. Так фазе =/2 соответствует момент времени t=T/4; фазе = соответствует момент времени t=T/2.

Фаза колебаний представляет собой аргумент тригонометрической функции и, следовательно, измеряется в радианах.

Основные энергетические характеристики гармонического колебания.

Используя полученное выражение для скорости, можно записать формулу для кинетической энергии материальной точки, совершающей гармонические колебания:

(3.11)

Формула для потенциальной энергии упругой деформации имеет вид: (3.12).

Подставив в данную формулу выражение для координаты x, можно вычислить потенциальную энергию колебательного движения:

(3.13)

Полная энергия колеблющейся материальной точки равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

(3.14)

В процессе колебаний потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию и наоборот. При этом полная энергия для незатухающих колебаний остается постоянной. Процесс перехода энергии из одного вида в другой носит периодический характер. В случае, когда присутствуют силы сопротивления среды, кинетическая энергия колеблющейся системы затрачивается на их преодоление, вследствие чего величина полной энергии постепенно уменьшается (случай затухающих колебаний).