1.6 Условия применимости принципа обратной связи в информационных системах с запаздыванием сигналов

Рассмотрим условия, при которых использование обратного канала в системах передачи данных повышает их технические показатели по сравнению с симплексными системами ПД. При этом будем полагать, что командные сигналы передаются без искаже­ний (вероятности ), а время запаздывания сигналов.

В системах ПД с кодовым представлением сигналов отдельные элементы сообщения утрачивают самостоятельное информационное значение. Искажения любого элемента в виде его трансформации, пропуска или ошибоч­ного повторения приводят к искажению всего сообщения. В тех случаях, когда особо важная информация может передаваться неоднократно, предпочтения заслуживают те методы передачи данных, которые обеспечивают малую вероятность ложных сообщений. Поэтому следует применять такие способы кодирования, при которых необнаруживаемые ошибки вызывают бросающиеся в глаза искажения сообщений.

В этих условиях естественно использовать критерий наимень­шей вероятности ошибки

, (1.15)

где – априорная вероятностьi-го элемента сообщения; – условная вероятность правильного приемаi-го элемента; – число элементов сообщения. При известныхкритерий (1.15) сов­падаетc критерием идеального наблюдателя. Если все элемен­ты сообщения равновероятны, что характерно для систем с телекодовой передачей сигналов, то критерий (1.15) сводится к минимизации величины , где–const для всех .

В системах ПД с телекодовой передачей сигналов с использованием помехоустойчивых кодов це­лесообразно использовать критерий эквивалент­ной вероятности ошибки

, (1.16)

характеризующий вероятность ошибки на один информационный символ помехоустойчивого -кода. Этот критерий отвечает формализованному характеру сообщений в таких системах, поскольку он полностью абстрагируется от цены ошибки.

Критерий эквивалентной вероятности ошибки определяет усло­вие применимости блочных корректирующих кодов в односторон­них системах связи:

, (1.17)

где

(1.18)

– вероятность искажения символа безизбыточного кода, обеспечи­вающего ту же скорость передачи информации, что и данный помехоустойчивый -код;

, – длительность символа корректирующего кода и средняя вероятность его искажения.

Используя формулу для коэффициента относительной избыточ­ности помехоустойчивого -кода

,

выражения (1.16) и (1.18) можно представить в виде

; (1.19)

. (1.20)

В дальнейшем будем считать более эффективной ту систему связи, которая при заданных значениях иобеспечивает меньшую величинуили при заданныхибольшее значе­ние.

Для любой адаптивной системы ПД с ОС справедливо соотношение

, (1.21)

где – кодовое расстояние;– коэффициент, зависящий от способа кодирования. Например, для систем ПД с РОС, использующих в качестве сигналаодну из комбинаций помехоустойчивого-кода с обнаружением ощибок, приивероятность

,

где – число кодограмм веса, и так как, то коэффициент

.

Структура формулы (1.21) аналогична выражению для адаптивных систем ПД с организацией симплексного режима работы и применением корректирующих кодов. Это позволяет при определении условий применимости принципа обратной связи воспользоваться методом Л.М. Финка, разработанным для указанных выше систем, и, в частности, критерием .

При некогерентном приеме двоичных ортогональных сигналов вероятность искажения символа

.

Тогда, согласно выражению (1.21) эквивалентная вероятность ошибки будет определяться

.

С учетом повторений превышение сигнала в адаптивной системе ПД с ОС

. (1.22)

Тогда вероятность обнаружения ошибки

,

откуда

. (1.23)

Отсюда следует, что условие (1.17) выполняется, если коэффициент

. (1.24)

При идеальной обратной связи коэффициент имеет минималь­ное значение, определяемое формулой (1.10) при, а условие (1.24) принимает вид

. (1.25)

Это выражение показывает, что при идеальной обратной связи и подавляющее большинство обнаруживаемых кодов обеспечивает выполнение неравенства (1.24). Это означает, что помехоустойчивость адаптивных систем ПД с ОС будет выше, чем систем без обратной связи с безизбыточным кодированием при одинаковой скорости передачи информации.

При запаздывании сигналов условие (1.17) может не выпол­няться даже для достаточно мощных кодов, так как с увеличени­ем коэффициентвозрастает. Так, например, согласно выражению (1.10) коэффициент

,

откуда коэффициент уменьшения скорости передачи информации в адаптивной системе ПД с ОС

.

Тогда вместо неравенства (1.24) имеем

или

. (1.26)

Если при выполняется условие, то формулу (1.26) можно представить в виде

. (1.27)

Если запаздывание сигналов определяется в основном временем их распространения, то справедливо неравенство

. (1.28)

Это неравенство наглядно показывает влияние запаздывания сигналов. Однако его выполнение зависит не только от уровня шумов в канале связи, но и от обнаруживающей способности кода. Так, для линейных двоичных кодов должны выполняться условия Плоткина:

; . (1.29)

Согласно неравенствам (1.29), изменение в широких преде­лах сравнительно слабо влияет на правую часть выражения (1.28). Например, привеличинавозрастает от 0,35 до 2,62. Из соотношения (1.27) также следует, что чем больше произведение, тем меньше допустимое значение вероятно­сти. При малых значениях, когда принеравенствоне выполняется, левая часть выражения (1.27) не зависит оти, следовательно, с ростомувеличиваются обе части выражения (1.28). Наконец, если не выполняется условие, то левая часть неравенства (1.28) возрастает с уве­личениембыстрее правой части.

Таким образом, анализ выражения (1.27) в общем виде за­труднителен. Однако чем лучше при удовлетворяется это неравенство за счет увеличения, тем сильнее зависит левая его часть от уровня помех в канале связи. Наоборот, при использовании кодов с малымусловие (1.27) выполняется при изменениив более широких границах. Следовательно, чем боль­ше отношение, тем меньше нижняя грань вероятности, обеспечивающая выполнение условия (1.17).

Следуя методу Л. М. Финка, найдем уравнение асимптоты кри­вой . Для отыскания этой зависимости воспользуемся выражением (1.26) при:

,

откуда уравнение асимптоты имеет вид

. (1.30)

Угловой коэффициент асимптоты

. (1.31)

Условие применимости обратной связи (1.25) эквивалентно условию

. (1.32)

Граничное значение вероятности искажения кодовых символов определяется из уравнения

. (1.33)

Так как для оптимальных обнару­живающих кодов , то пара­метрв выражениях (1.32) и (1.33) можно исключить и выра­зить и черези. В частности, для циклических кодов и

; . (1.34)

На рис. 1.18 показаны графики зависимости и их асимптоты для обнаруживающего эквидистантного (7,3)-кода и (4,3)-кода c проверкой на четность. Из рисунка видно, что выражение (1.30)

Рисунок 1.18 – Применимость принципа обратной связи

удовлетворительно аппроксимирует зависимость и позволяет определить вероятность, но при достаточно больших значениях вероятности.