§23. Приклади розв’язання задач на розкладення векторів по довільному базису і перетворення координат

Задача 23.1. При якому векторине утворюють базис, якщо .

Розв’язання.

Згідно означення базису, маємо знайти , при якому дані вектори компланарні, тобто

,

тобто дані в умові вектори не утворюють базис при .

Задача 23.2. Дано три вектори . Знайти розкладання вектора за базисом.

Розв’язання.

Розкладання вектора за базисом здійснюється за допомогою формули 2198, де коефіцієнти розкладання нам потрібно буде знайти.

Запишемо цю формулу у координатному вигляді

,

що приведе до системи рівнянь

.

Розв’яжемо цю систему методом Гауса:

_{звідки знаходимо}

.

Отже, розкладання вектора за базисоммає вигляд:

.

Задача 23.3. В системі дано точку. Знайти її координати в системі, яка отримана зв результаті повороту на кут.

Розв’язання.

Скористаємось формулами повороту системи координат 22115. Отримуємо:

Задача 23.4. В системі дано точку. Знайти її координати в системі, центр якої вмає координатиі напрямки відповідних координатних осей співпадають.

Розв’язання.

Оскільки напрямки координатних осей співпадають, то нова система координат отримана за допомогою паралельного перенесення. Застосувавши відповідні формули 22112, маємо:

Отже, в системі точка.

Задачі для самостійної роботи

1. Перевірити, чи утворюють вектори базис тривимірного простору та знайти компоненти векторау цьому базисі.

а) ,

б) ,

2. В системі дано точку. Знайти її координати в системі, центр якої вмає координатиі напрямки відповідних координатних осей співпадають.

3. В системі дано точку. Знайти її координати в системі, яка отримана зв результаті повороту на кут.

Питання для повторення

1. Базис. Розкладення вектора по некомпланарним векторам.

2. Формули паралельного перенесення і повороту.

11724Equation Section (Next)§24. Метричний вимірний простір. Лінійнийвимірний векторний простір і його базис. Евклідів простір

Розглянемо вимірний простірщо складається з точоквимірний простірназиваєтьсяметричним простором, якщо кожним двом елементам ставиться у відповідність число, яке називаєтьсяметрикою або відстанню і задовольняє умовам:

1. і і- співпадають;

2. 

3. для будь яких трьох елементів

Візьмемо дві довільні точки Знайдемо відстань між двома точками за наступною формулою:

11824118\* MERGEFORMAT (.)

Можна довести, що для відстані, заданої формулою 24118, виконуються усі умови Але 24118 не єдиний спосіб завдання відстані уТак, якщо взяти

то умови теж виконуються, і кожне з цих чисел можна розглядати як відстань між двома точками уАле перевагою 24118 є те, що приотримуються формули для відстані між точками на координатній прямій, координатній площині, у координатному просторі.

_Нехай - довільні точки з Назвемовимірним векторомвпорядковану сукупністьчисел

11924119\* MERGEFORMAT (.)

Числа називаються координатамивимірного вектора і те, що вектор має координати, позначають наступним чином

Модулем вимірного вектора називається корінь квадратний з суми квадратів його координат:

12024120\* MERGEFORMAT (.)

Можна бачити, що якщо використовувати метрику 24118, то модуль вимірного вектора дорівнює відстані між його початком і кінцем.

Рівними вимірними векторамиіназвемо такі, що мають однакові відповідні координати:

Введемо для вимірних векторів лінійні операції (множення на число, додавання) так само, як вони здійснюються над векторами у просторі у координатній формі.

1. Для будь якого

2. Для будь яких і

Цим операціям притаманні такі властивості.

1. (комутативність додавання);

2. (асоціативність додавання);

3. Якщо то

(існування нульового елемента);

4. Для будь якого вектора

(існування протилежного елемента);

5. (асоціативність множення на число);

6. (дистрибутивність відносно додавання чисел);

7. (дистрибутивність відносно додавання векторів).

Множина у який введено лінійні операції, що задовольняють властивості називаєтьсялінійним простором. Отже, вимірний векторний простір з введеними вище операціями є лінійним простором.

Нехай є система вимірних векторів.

Має місце теорема, аналогічна теоремі про розкладення будь-якого вектора по некомпланарним.

Теорема. Якщо вектори такі, що

, 12124121\* MERGEFORMAT (.)

то будь-який вектор може бути однозначно поданий у вигляді

. 12224122\* MERGEFORMAT (.)

Будь-які векторів, що задовольняють умові 24121 називаютьсябазисом вимірного векторного простору. Рівність 24122 називається розкладенням вектора у базисіа числакоординатами векторау цьому базисі.

Складемо лінійну комбінацію векторів і прирівняємо її до нульового вектора

12324123\* MERGEFORMAT (.)

Зрозуміло, що коли усі то ця рівність здійснюється. Але якщо виконується умова 24121, рівність можлива тільки у цьому випадку.

Якщо лінійна комбінація векторів дорівнює 0-вектору тоді і тільки тоді, колито ці вектори називаютьсялінійно незалежними. Отже, будь-які лінійно незалежні вектори утворюють базисвимірного простору. Умова 24121 є необхідною і достатньою умовою лінійної незалежності векторів.

Лінійний векторний простір називається Евклідовим, якщо кожній парі векторів іставиться у відповідність числояке називається скалярним добутком і задовольняє умовам:

1. причому ;

2. ;

3. ;

4. .

Введемо у вимірному векторному просторі скалярний добуток двох векторівзгідно з формулою

12424124\* MERGEFORMAT (.)

За такого введення скалярного добутку для нього виконуються усі умови і векторний простір буде Евклідовим.

З 24124 також випливає, що

12524125\* MERGEFORMAT (.)

Для будь-яких вимірних векторівівиконується нерівність (Коши-Буняковського):

12624126\* MERGEFORMAT (.)

З нерівності 24126 при випливає, що

Тоді існує кут такий що

12724127\* MERGEFORMAT (.)

Найменший з кутів що задовольняють рівності 24127, називається кутом між двомавимірними векторами. Ненульові векториібудуть перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли

12824128\* MERGEFORMAT (.)

Вектори такі, щоіє лінійно незалежними і утворюють базис, який називаєтьсяортонормованим. Прикладом такого базису є вектори

12925Equation Section (Next)13026Equation Section (Next)§25. Приклади розв’язування задач на вектори в n-вимірному просторі

Задача 25.1. У п’ятивимірному просторі дано точки та. Знайтита компоненти вектора.

Розв’язання.

За 24119 знайдемо :, тоді за 24120

.

Компоненти вектора

_Задача 25.2. Знайти кут між векторами та

Розв’язання.

Користуючись формулою 24127 для знаходження кута між двома вимірними векторами (в нашому випадку), маємо:

,

отже, .

Задача 25.3. Перевірити, чи утворюють вектори ,,, базис чотирьохвимірного простору.

Розв’язання.

Перевіримо, чи є дані вектори лінійно незалежними. Згідно необхідної і достатньої умови лінійної незалежності векторів 24121, необхідно обчислити значення визначника:

.

Отже, дані в умові вектори є лінійно незалежними і утворюють базис чотирьохвимірного простору.