Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Одесская морская академия (бывш. ОНМА)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы линейной и векторной алгебрыi.docx

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2016

Размер:

3.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Задачі для самостійної роботи

Розв’язати за формулами Крамера:

а)б)в)

г)

Дослідити системи на сумісність та у випадку сумісності розв’язати методом Гауса:

а) б) в)

г) д)е)

ж)

Знайти розв’язки систем:

а) б)в)

г) д)

Побудувати обернену матрицю для кожної з матриць. Зробити перевірку.

; ;.

Розв’язати системи рівнянь матричним методом:

а) б)в)г)

Питання для повторення

Матричний запис системи рівнянь.
Теорема Кронекера-Капеллі.
Обернена матриця, її знаходження.
Формули Крамера.
Метод Гауса.

4110Equation Section (Next)§10. Системи координат на прямій, площині і у просторі. Координати точки

Координати є засобом для визначення положення точки за допомогою чисел. Введення координат точки почнемо з простішого випадку, а саме прямої. Для цього на прямій необхідно задати початкову точку і додатний напрямок, припустимо, праворуч від точки(Рис. 10.1).

Рис. 10.1

Окрім того, необхідно задати одиницю виміру відстані (масштаб), тобто вказати відрізок довжина якого вважається одиничною:

Пряма, на якій задано початкову точку, додатний напрямок і масштаб, називається координатною віссю або одновимірною системою координат.

Точка називається початком координат. Для координатних осей використовують наступні позначення:

Візьмемо на осі довільну точку(Рис.10.1).

Координатою точки називається числояке дорівнює довжині відрізкаякщо точказнаходиться на додатному напрямку осі і довжині цього відрізка зі знаком мінус, коли точка знаходиться на від’ємному напрямку. Тобто

Координата початкової точки дорівнює

Якщо число є координатою точкито це записують так:

Можна бачити, що кожній точці на координатній осі відповідає єдине дійсне число, а кожному дійсному числу відповідає тільки одна точка на координатній осі.

Таким чином, між дійсними числами і точками координатної осі встановлено взаємно однозначну відповідність. В зв’язку з цим координатну вісь ще називають числовою віссю.

Щоб ввести системи координат на площині і у просторі, необхідно ввести поняття кута між двома впорядкованими осями. Нехай є дві впорядковані осі, що перетинаються у точці :і(Рис 10.2).

Рис. 10.2

Кутом між двома впорядкованими осями іназивається найменший кутна який потрібно повернути першу вісьщоб її додатний напрямок збігся з додатним напрямком другої осі.

Коли обертання відбувається проти хода годинникової стрілки, то кут вважається додатним. Якщо обертання відбувається за ходом годинникової стрілки, то кут вважається від’ємним.

З визначення можна бачити, що .

Часто розглядають обертання тільки в додатному напрямку осі

Нехай на площині є дві впорядковані осі іякі утворюють куті перетинаються у точці(Рис. 10.3). Такі осі складаютьпрямокутну (декартову) систему координат на площині. Точка є початком системи координат.

Рис. 10.3

Позначати систему координат будемо наступним чином: .

Система координат називаєтьсяправою, якщо поворот на найменший кут першої осі до другої здійснюється проти ходу годинникової стрілки. У протилежному випадку система координат називається лівою. горизонтальну вісь прийнято називати віссю абсцис, вертикальну вісь – віссю ординат. Площина, на якій введено систему координат, називається координатною площиною. Координатна площина поділяється осями на чверті, нумерація яких показана на Рис. 10.3. Визначимо координати точки в такій системі. Нехай - довільна точка площини. Проведемо через точкуперпендикуляри до координатних осей, черезпозначимо точки перетину перпендикулярів з осямиіТочкиєпроекціями точки на координатні осі.Нехай точка на осімає координатуа точкана осімає координатуТоді впорядковану пару чиселбудемо називатикоординатами точки у системі координатТой факт, що впорядкована пара чиселє координатами точкибудемо далі записувати наступним чином:

Таким чином, між точками координатної площини і множиною впорядкованих пар дійсних чисел встановлюється взаємно-однозначна відповідність. Тому систему координат на площині називають двовимірною, а саму координатну площину двовимірним простором.

Окрім прямокутної декартової у практичній діяльності, зокрема судноводінні і навігації, поширена так звана полярна система координат для визначення положення точки на площині. Для побудови такої системи обирається довільна точка площини яка називаєтьсяполюсом. Далі з цієї точки проводиться промінь який називаєтьсяполярною віссю (Рис.10.4)

Рис 10.4

На полярній осі задається одиниця виміру довжини Полюс і полярна вісь з заданою одиницею довжини утворюютьполярну систему координат на площині.

Положення довільної точки на площині визначається наступним чином. Проводиться промінь Відрізок називається полярним радіусом, його довжина позначаєтьсяКут між полярною віссю і променемвизначений з врахуванням напряму повороту , називається полярним кутом і позначаєтьсяЯкщо обертання полярної осі здійснюється проти ходу годинникової стрілки, кут вважається додатнім, якщо за ходом, то від'ємним.

Полярними координатами точки називається упорядкована пара чиселде- довжина полярного радіусу,- величина полярного кута. Те, що ці числа є полярними координатами точки, записують так:

Між полярними координатами і точками на площині встановлюється взаємно однозначна відповідність за умов

або

Визначимо зв'язок між полярними і прямокутними координатами точки при умові, що центр прямокутної системи збігається з полюсом полярної системи, а вісь абсцис збігається з полярною віссю (Рис.10.5).

Рис 10.5

Нехай точка у прямокутній системі має координатиа у полярнійТоді з співвідношення між гіпотенузою та катетами прямокутного трикутника знаходимо

421042\* MERGEFORMAT (.)

Наведені формули виражають декартові координати точки через полярні.

Зворотній зв'язок за умови дається формулами

431043\* MERGEFORMAT (.)

У просторі прямокутну (декартову) систему координат утворюють впорядковані трійки взаємно перпендикулярних осей які перетинаються у точці(Рис.10.6). Точканазивається початком координат.

Рис 10.6

Система координат називаєтьсяправою системою координат при умові, що з додатного напрямку третьої осі поворот на найменший кут першої осі до другої спостерігається проти ходу годинникової стрілки. В протилежному випадку система координат називається лівою. Простір, в якому введено систему координат, називається координатним простором.

називається віссю абсцис, - віссю ординат,- віссю аплікат.

Нехай - довільна точка простору. Проведемо через цю точку перпендикулярно до координатних осей площини (Рис.10.6). Черезпозначимо точки перетину цих площин з координатними осями. Нехай точкамає координатуна осімає координатуна осімає координатуна осіТоді впорядковану трійку чиселбудемо називати координатами точкиу тривимірній системі координаті записувати це наступним чином:

Таким чином, кожній точці простору відповідає у системі координат впорядкована трійка чисел. Кожній впорядкованій трійці чисел відповідає точка простору. Між трійками чисел і точками координатного простору встановлюється взаємно однозначна відповідність. Множини усіх впорядкованих трійок чисел називається тривимірним простором і позначається

Поняття простору може бути узагальнено.

Розглянемо множину усіх впорядкованих сукупностей з дійсних чисел

Множина усіх можливих сукупностей з дійсних чиселназивається - вимірним простором, або простором вимірів і позначається

Кожна впорядкована сукупність з дійсних чисел називається точкою- вимірного простору і позначаєтьсяЧисланазиваються координатами точки- вимірного простору.

Точку у прямокутній системі координатможна визначити не тільки декартовими координатами, а ще й циліндричними і сферичними. Нехай- проекція точкина площину(Рис. 10.7).

Рис 10.7

Ця точка у полярній системі координат з полюсом і полярною віссюмає координатиТоді впорядковану трійку чиселназиваютьциліндричними координатами точки і записують це так:Зв'язок між декартовими координатами точкиі її циліндричними координатами, як можна бачити з Рис.10.7 і формул 1042, встановлюється формулами

441044\* MERGEFORMAT (.)

Для введення сферичних координат точки знову розглядається її проекціяна площинуі полярні координати точки(Рис.10.7) і проводиться площина через точкуі вісь аплікатНехай відстань від початку координат до точкидорівнюєа кут між віссюі променемдорівнюєТоді впорядковану трійку чиселназиваютьсферичними координатами точки і записують це так:Щоб встановити зв'язок між прямокутними і сферичними координатами точкиззнаходимо

Остаточно згідно 1042 приходимо до формул:

451045\* MERGEFORMAT (.)

4611Equation Section (Next)§11. Скалярні та векторні величини. Поняття вектора. Лінійні операції з векторами у геометричній формі і їх властивості

Усі величини можуть бути поділені на скалярні та векторні. Скалярні величини повністю визначаються їх числовими даними. Наприклад, довжина, густина, маса, температура тощо.

Векторною називається величина, яка визначається не тільки числовим значенням, а ще й напрямком. Геометрично векторні величини зображуються за допомогою векторів, під якими розуміється направлений відрізок.

Вектором називається направлений відрізокз початковою точкоюі кінцевою точкою(Рис.11.1).

Рис 11.1

Як можна бачити з визначення, напрямок вектора задається від початкової точки до кінцевої. Коли неважливо, у якій саме точці має початок і кінець вектор, він позначається однією буквою:

Довжину відрізка, на якому розміщується вектор, називають модулем або довжиною вектора і позначають

Будь-які два вектори іназиваютьсярівними, якщо вони мають однакові довжини і однаковий напрямок (Рис.11.1). Тобто у цьому випадку Геометрично це означає, що рівні вектори збігаються при паралельному перенесенні.

Якщо початкова і кінцева точки вектора збігаються, то вектор має нульову довжину. Такий вектор називається нульовим, або нуль-вектором і позначається Вектортакий, що, називаєтьсяодиничним вектором.

В залежності від того, як вектори розміщуються у просторі, відрізняються колінеарні і компланарні.

Вектори що знаходяться на одній або на паралельних прямих, називаютьсяколінеарними.

Вектори що знаходяться у одній або паралельних площинах, називаютьсякомпланарними.

Над векторами у геометричній формі можна здійснювати такі операції як множення на число і додавання. Ці операції називаються лінійними операціями над векторами.

Добутком вектора на число (скаляр)називається векторщо визначається наступними умовами:

вектори іколінеарні і спрямовані однаково приі спрямовані у протилежних напрямках коли,

Добутком будь-якого вектора на є нуль-вектор:

Вектор що має однакову здовжину і протилежний напрямок. називаєтьсяпротилежним до

Сумою двох векторів іє третій вектор, який будується згідно з правилом трикутника або правилом паралелограма (Рис. 11.2):

Рис 11.2

Правило трикутника очевидно поширюється на будь-яку кількість векторних доданків (Рис. 11.3).

Рис 11.3

За допомогою поняття протилежного вектора можна ввести і поняття різниці двох векторів

Лінійні операції над векторами мають наступні властивості:

(комутативність додавання);
(асоціативність додавання).

Для будь-якого :

;
;
;
(асоціативність добутку на число);
(дистрибутивність відносно додавання векторів);
(дистрибутивність відносно додавання скалярів).

4712Equation Section (Next)§12. Проекція вектора на вісь і її властивості

Розглянемо у просторі деяку вісь і вектор(Рис.12.1).

Кутом між вектором та віссюназивається найменший кут, на який потрібно повернути вісь проти ходу годинникової стрілки, щоб її напрямок співпав з напрямком вектора:

Рис 12.1

Очевидно, при такому визначенні значення кута між вектором та віссю знаходиться у межах

Проекцією вектора на вісьназивається число, яке дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута між вектором та віссю:

481248\* MERGEFORMAT (.)

Встановимо геометричний зміст поняття проекції.

Рис 12.2

Для цього через початок і кінець вектора проведемо площини перпендикулярно до осі (Рис.12.2) і точки перетину цих площин з віссю позначимо В залежності від кута між вектором та віссю ззнаходимо

або

Але тоді згідно 1248

де знак відповідає додатному значенню, а знаквід'ємному значенню

Остання рівність встановлює наступний геометричний зміст поняття проекції вектора на вісь. Проекція вектора на вісь з точністю до знака дорівнює довжині відрізка, що відтинається на осі площинами, що проходять перпендикулярно до неї через точкиіЦя довжина береться зі знаком плюс, коли косинус кута між вектором та віссю додатний і зі знаком мінус, якщо цей косинус від'ємний.

Розглянемо інші властивості поняття проекції.

Рівні вектори мають рівні проекції:

Для будь-якого скаляра

491249\* MERGEFORMAT (.)

При рівність очевидна. НехайіЯкщото

Коли то

Для будь-яких векторів і

501250\* MERGEFORMAT (.)

Для доведення цієї властивості використаємо геометричний зміст поняття проекції (Рис. 12.3)

Рис 12.3

Згідно з зображеним випадком

але

звідки випливає 1250.

Нехай -деякі вектори, а-деякі числа. Виразназиваєтьсялінійною комбінацією векторів . Узагальненням (10.2) і (10.3) є наступна властивість.

Для будь-якої лінійної комбінації векторів має місце рівність:

511251\* MERGEFORMAT (.)

Якщо вектор та вісь перпендикулярні, то

Зауважимо, що для ненульового вектора рівність нулю проекції є необхідною і достатньою умовою перпендикулярності вектора та осі.

Аналогічно можна ввести поняття проекції вектора на інший вектор. Під нею розуміється число, яке дорівнює

521252\* MERGEFORMAT (.)

де -кут між векторамита.

Очевидно, що властивості проекції вектора на інший вектор співпадають з властивостями проекції вектора на вісь.

5313Equation Section (Next)§13. Координати вектора. Визначення вектора за його координатами. Лінійні операції над векторами у координатній формі

Нехай у просторі є система координат і довільний вектор. Черезпозначимо кути, що утворює вектор з координатними осями:

Рис 13.1

Введемо до розгляду проекції вектора на координатні вісі:

, ,

Впорядковану трійку чисел , які є проекціями векторана відповідні координатні вісі, називаютькоординатами вектора у прямокутній системі координат.

Те, що вектор має координати, будемо записувати так:

Згідно визначення проекції та 1248 знаходимо:

541354\* MERGEFORMAT (.)

Таким чином, якщо відомі довжина та напрямок вектора, то його координати однозначно визначаються формулами 1354. Доведемо, що за координатами вектора можна знайти його довжину і напрямок.

Нехай відомі координати вектора . Побудуємо на цьому векторі як на діагоналі (Рис. 13.1) прямокутний паралелепіпед. Тоді знаходимо:

Аналогічно

Для діагоналі прямокутного паралелепіпеду має місце формула

Звідси випливає

551355\* MERGEFORMAT (.)

Отже, якщо є координати вектора , то його довжина визначається формулою 1355. Напрямок вектора визначається кутами, які він утворює з координатними осями. Якщо , то з 1354 знаходимо:

561356\* MERGEFORMAT (.)

Ці формули дозволяють однозначно визначити кути між вектором і координатними осями, при умові Косинуси кутів, що утворює вектор з осями координат, називаються йогонапрямними косинусами. Згідно з 1356 маємо:

Таким чином,

571357\* MERGEFORMAT (.)

Отже кути, що утворює вектор з осями координат, не можуть бути довільними. Вони мають бути такими, щоб виконувалась рівність 1357.

Нехай є два вектори, які задані своїми координатами: і. Очевидно, оскільки рівні вектори мають рівні проекції, то, якщо, то і.

З формул 1355, 1356 випливає, що при рівних координатах вектори тамають однакові довжину і напрямок, тобто є рівними. Таким чином, будь-який вектор однозначно визначається своїми координатами.

Розглянемо, що відбувається з координатами векторів при здійсненні лінійних операцій.

Нехай - довільне число, тоді згідно 1249

Це означає, що

. 581358\* MERGEFORMAT (.)

Таким чином, при множенні вектора на число на це число множиться кожна його координата.

Для суми за формулою 1250 знаходимо

а це означає, що

. 591359\* MERGEFORMAT (.)

Отже, додаванню векторів відповідає додавання їх відносних координат.

Формули 1358, 1359 узагальнюються на випадок лінійної комбінації довільної системи векторів :

601360\* MERGEFORMAT (.)

Формули 1358-1360 встановлюють правила дій над векторами у координатній формі.

6114Equation Section (Next)§14. Розкладання вектора по базисним векторам (ортам) системи координат. Визначення вектора координатами початку і кінця. Обчислення відстані між двома точками у просторі

З кожною просторовою системою координатможна пов’язати три вектора, що мають довжинуі спрямовані так само, як вісівідповідно (Рис.14.1). Вектори називаютьсяортами координатних осей , або базисними векторами системи координат.

Рис 14.1

Базисні вектори системи координат мають координати

Має місце теорема.

Теорема. Довільний вектор може бути поданий у вигляді

621462\* MERGEFORMAT (.)

Дійсно, згідно з 1360:

Буде вірною і обернена теорема.

Теорема. Якщо для вектора має місце подання 1462, то.

Дійсно, згідно властивостям проекції

Аналогічно, ,.

Кожній точці простору можна поставити у відповідність вектор, який називаєтьсярадіус-вектором цієї точки.

Має місце теорема.

Теорема. Якщо , то у цій же системі координат її радіус-вектор.

Розглядаємо проекції на координатні вісі (рис.15.1):

Тому .

Теорема. Нехай і,. Тоді різницідорівнюють відповідним координатам вектора.

Розглянемо радіус вектори точок і:,.

З векторного трикутника (рис 14.2) .

631463\* MERGEFORMAT (.)

Рис 14.2

Формула 1463 показує, що координати будь-якого вектора дорівнюють різницям відповідних координат його кінця і початку.

Оскільки відстань між точками ідорівнює довжині вектора, то маємо формулу для обчислення відстані між двома точками, заданими своїми координатами:

641464\* MERGEFORMAT (.)

6515Equation Section (Next)§15. Поділ відрізка у даному відношенні. Відшукання координат центра тяжіння системи матеріальних точок.

Поняття векторів та їх координат дозволяють легко розв’язувати такі практично важливі задачі, як поділ відрізка у даному відношенні і обчислення координат центра тяжіння системи матеріальних точок.

Задача поділу відрізка у заданому відношенні формулюється наступним чином. У деякій системі координат задані дві точкиі. Необхідно знайти координати точки, яка ділить відрізоку заданому відношенні:

661566\* MERGEFORMAT (.)

Для розв’язання позначимо координати точки і розглянемо радіус-вектори (Рис.16.1):

Рис 15.1

Оскільки вектори іколінеарні і однаково спрямовані, то з 1566 випливає рівність:

Але , тоді

Звідси знаходимо

671567\* MERGEFORMAT (.)

Формула 1567 знаходить радіус-вектор невідомої точки і є векторним розв’язком задачі про поділ відрізка. Запис 1567 у координатній формі дає такі формули для координат:

681568\* MERGEFORMAT (.)

Отримані формули 1568 можна застосувати до розв’язання задачі відшукання центра тяжіння системи матеріальних точокз масами.

Спочатку визначимо точку , яка є центром тяжіння двох точокі. Ця точка знаходиться на відрізкуі розділяє його на відрізки обернено пропорційно масам, зосередженим у цих точках

Нехай ‑ радіус-вектор точки. Тоді з 1567 признаходимо

691569\* MERGEFORMAT (.)

Тепер радіус-вектор точки тяжіння системи трьох точок знаходиться за 1569, у припущенні, що в точцізосереджена маса, а у точцізнаходиться маса:

Після підстановки значення з 1569 і перетворень отримаємо наступну формулу для радіус-вектора центра тяжіння системи трьох точок:

701570\* MERGEFORMAT (.)

З огляду на формули 1569, 1570 можна висунути припущення, що радіус-вектор точки , яка є центром тяжіння системиматеріальних точок, знаходиться за формулою:

711571\* MERGEFORMAT (.)

Строге доведення цієї формули можна здійснити згідно з методом математичної індукції. Формула 1571 може бути переписана також і у координатній формі:

721572\* MERGEFORMAT (.)

7316Equation Section (Next)§16. Задачі на обчислення координат точок в різних системах. Дії над векторами в координатній формі

Задача 16.1. Знайти координати середини відрізка , якщо, а.

Розв’язання.

Нехай -середина, тоді, згідно 1568 примаємо:

Задача 16.2. Знайти координати точок та, які ділять відрізокна три рівні частини, якщо, а.

Розв’язання.

Спершу знайдемо координати точки . Для неї згідно 1566. Використовуючи 1568, одержимо:

Аналогічно обчислимо координати точки , для якої:

Отже, ,.

Задача 16.3. У точках ,,розміщено матеріальні точки з масами 60, 40 і 100 г. Знайти центр мас цієї системи.

Розв’язання.

Скористаємось 1572:

;

Отже, центром мас є точка .

Задача 16.4. Знайти циліндричні координати точки за її прямокутними координатами: .

Розв’язання.

Згідно формул зв’язку 1043 маємо:

Отже, за формулою 1044 отримали циліндричні координати точки: .

Задача 16.5. Знайти полярні координати точки , якщо полюс співпадає з початком координат, а полярна вісь - з додатнім напрямом осі абсцис.

Розв’язання.

За 1043 отримаємо:

, таким чином, .

Задача 16.6. Знайти декартові координати точки , якщо полюс співпадає з початком координат, а полярна вісь напрямлена по осі абсцис.

Розв’язання.

Для знаходження декартових координат скористаємось формулами зв’язку 1042, згідно з якими

Отримали .

Задача 16.7. Знайти координати середини відрізка , якщо, а.

Розв’язання.

Спочатку знайдемо ці точки в декартовій системі координат (див.1042):

;

Обчислимо координати середини :

Задача 16.8. Знайти відстань між точками та.

Розв’язання.

Скористаємось формулою 1464, попередньо визначивши координати даних точок в декартовій системі:

Тепер

Зауваження. Для знаходження відстані між точками тазручно також скористатися теоремою косинусів, за якою

Задача 16.9. Знайти прямокутні координати точки, що знаходиться на сфері радіуса 3 знаючи широту точки і довготу. Центр сфери співпадає з початком прямокутної системи.