Задачі для самостійної роботи

1. Знайти полярні координати точки , якщо полюс співпадає з початком координат, а полярна вісь - з додатнім напрямом осі абсцис.

2. Знайти декартові координати точки , якщо полюс співпадає з початком координат, а полярна вісь напрямлена по осі абсцис.

3. Знайти прямокутні координати точки, що знаходиться на сфері радіуса 5 знаючи широту точки і довготу. Центр сфери співпадає з початком прямокутної системи.

4. Знайти циліндричні координати точки за її прямокутними координатами: .

5. Знайти координати середини відрізка , якщо, а

6. Дано координати точок: ,. Знайти координати трьох точок, які поділяють відрізокна три рівні частини.

7. Знайти відстань між точками та

8. Дано координати вектора : . Знайти координату, якщо відомо, що.

9. Визначити початок вектора , якщо його кінець співпадає з точкою

10. Дано та. Знайти модуль суми та різниці цих векторів.

11. Обчислити напрямні косинуси вектора , якщота.

12. З’ясувати, чи може вектор становити з координатними осями кути .

13. Знайти координати центра ваги трикутника :,,.

14. Дано координати вершин трикутника: . Показати, що трикутникправильний.

Питання для повторення

1. Декартова, полярна, циліндрична, сферична симтеми координат. Формули зв’язку між ними.

2. Поняття вектора. Лінійні операції з векторами та їх властивості. Проекція вектора на вісь.

3. Розкладання вектора по базисним векторам (ортам) системи координат. Обчислення відстані між двома точками у просторі.

4. Поділ відрізка у заданому відношенні. Центр тяжіння системи матеріальних точок.

7417Equation Section (Next)§17. Скалярний добуток векторів і його основні властивості

Для введення операції скалярного множення векторів попередньо необхідно визначити кут між векторами. Нехай два вектора імають початок у одній точці. Кутом між векторамиірозуміється найменший кут, на який потрібно повернути перший вектор, щоб його напрямок співпадав з напрямком другого вектора (Рис.17.1).

Рис 17.1

Згідно з таким визначенням виконується нерівність: або.

Також має місце співвідношення

або

Скалярним добутком двох векторів іназивається число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів, помножене на косинус кута, що утворюють ці вектори:

751775\* MERGEFORMAT (.)

З визначення та формули 1775 випливають наступні властивості цієї дії:

1. Операція векторного добутку є комутативною:

.

Дійсно,

.

2. Асоціативність відносно додавання

3. Для будь-якого дійсного числа

4. Скалярний добуток вектора самого на себе (скалярний квадрат вектора) дорівнює квадрату його довжини:

Дійсно,

5. Необхідна і достатня умови перпендикулярності двох векторів.

Для того, щоб два ненульових вектори ібули перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю:

. 761776\* MERGEFORMAT (.)

Доведення необхідності. Нехай іі вони перпендикулярні. Слід довести рівність 1776. Оскільки вектори перпендикулярні, то абоіТоді з 1775 знаходимо:.

Доведення достатності. Нехай виконується 1776. Але тоді Оскількиі, то остання рівність можлива тільки у випадку, колиЗгідно з визначенням кута між векторами, це означає, щоаботобто вектори перпендикулярні.

6. Скалярні добутки базисних векторів системи координат.

Нехай ‑ базисні вектори системи координат. Тоді

771777\* MERGEFORMAT (.)

7. Координатна форма скалярного добутку.

Якщо вектори ізадано в системі координатто їх скалярний добуток дорівнює

781778\* MERGEFORMAT (.)

Для доведення формули 1778 слід скористатись розкладенням векторів по базисним векторам системи координат (12.1):

791779\* MERGEFORMAT (.)

Тоді

При виведенні цієї формули суттєво використовувалися формули 1777.

Скалярний добуток може бути застосований до розв’язання наступних практичних задач:

1. Обчислення кута між двома ненульовими векторами.

Нехай вектори 1779 утворюють кут і,. Тоді з 1775, 1778 і (11.2) знаходимо

801780\* MERGEFORMAT (.)

Формула 1780 дозволяє знайти косинус кута між будь-якими векторами, а отже, визначити і сам цей кут.

За допомогою 1780 умова перпендикулярності векторів теж може бути записана у координатному вигляді:

2. Обчислення роботи сили.

Нехай матеріальна точка здійснює переміщення з точкиу точкупід дією силиТоді робота силипо переміщенню цієї точки дорівнює

811781\* MERGEFORMAT (.)

3. Обчислення проекції вектора на вектор.

Дійсно, з 1775 знаходимо:

,

тоді

821782\* MERGEFORMAT (.)

8318Equation Section (Next)§18. Векторний добуток векторів і його основні властивості

Якщо розглядати впорядковані трійки некомпланарних векторів то їх можна поділити на такі, що мають праву і ліву орієнтацію. Впорядкована трійка векторівназиваєтьсяправою, якщо з кінця вектора найкоротший поворот від векторадо вектораспостерігається проти годинникової стрілки (Рис. 18.1)

Рис 18.1

У протилежному випадку трійка векторів називаєтьсялівою.

Векторним добутком вектора на векторназивається векторщо задовольняє наступним трьом умовам:

1. - найменший кут між векторами і

2. перпендикулярний до кожного з векторів і

3. трійка векторів має бути правою.

Векторний добуток позначається так: .

Як можна бачити з визначення, модуль векторного добутку за значенням дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах (Рис. 18.2)

Рис 18.2

Основні властивості векторного добутку:

1. Операція векторного добутку не є комутативною. При зміні множників місцями напрямок векторного добутку змінюється на протилежний.

Дійсно, розглянемо вектори і За визначенням але щоб трійки і були правими (Рис. 18.2), векториімають мати протилежний напрямок, томуабо

841884\* MERGEFORMAT (.)

2. Для будь-яких трьох векторів

.

3. Для будь якої сталої

.

4. Необхідна і достатня умова колінеарності.

Для того, щоб два ненульових вектори ібули колінеарні, необхідно і достатньо, щоб їх векторний добуток дорівнював нульовому вектору:

851885\* MERGEFORMAT (.)

Нехай і- колінеарні іТоді- найменший кут, утворений цими векторами, дорівнюєабоВ обох випадкахіотже,

Якщо виконується рівність 1885, тоді

Оскільки іто це можливо тільки тоді, колиАле це означає, щоаботобто вектори розміщені на одній або паралельних прямих.

Наслідком з доведеної теореми зокрема є таке: векторний добуток вектора на самого себе дорівнює нульовому вектору

861886\* MERGEFORMAT (.)

5. Векторні добутки базисних векторів системи координат.

Для базисних векторів будь-якої прямокутної системи координатвиконуються рівності:

871887\* MERGEFORMAT (.)

Можна бачити, що множення базисних векторів відбувається згідно з правилом кругової перестановки (Рис. 18.3)

Рис 18.3

Перші три рівності у 1887 є безпосереднім наслідком 1886. Доведемо, наприклад, що Дійсно, трійка векторівє правою,ТакожОтже, дійсно

6. Векторний добуток векторів заданих координатами.

Якщо то

881888\* MERGEFORMAT (.)

Дійсно:

З урахуванням 1887 знаходимо

Кожний вираз в дужках є визначником другого порядку і тому результат може бути записаний у наступному вигляді:

Застосування векторного добутку.

1. Перевірка колінеарності двох векторів.

Як вже було доведено, необхідною і достатньою умовою колінеарності двох векторів є рівність 1885. За допомогою 1888 цю рівність можна записати у координатній формі:

Якщо усі координати векторів не дорівнюють нулю, з останніх рівностей знаходимо

891889\* MERGEFORMAT (.)

Рівність 1889 означає, що умовою колінеарності векторів є пропорційність їх відповідних координат.

2. Обчислення площі за відомими координатами його вершин:

Розглянемо вектори:

Площа дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на цих векторах:

901890\* MERGEFORMAT (.)

Знаходимо

де, згідно з 1888,

Тоді

3. Визначення моменту сили.

Якщо точка твердого тіла зафіксована, а до точкицього тіла прикладена силато обертальний момент силивідносно точкидорівнює векторному добутку:

911891\* MERGEFORMAT (.)

9219Equation Section (Next)§19. Мішаний (векторно-скалярний) добуток трьох векторів

Нехай - впорядкована трійка векторів. Якщо векторний добуток перших двох векторівтаскалярно помножити на третій векторто отримане числоназиваєтьсямішаним (векторно-скалярним) добутком трьох векторів.

Для цієї дії над векторами встановлюються такі властивості.

1. Мішаний добуток трьох некомпланарних векторів за абсолютною величиною дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, як на ребрах.

Розмістимо вектори так, щоб вони виходили з однієї точки і побудуємо на них паралелепіпед (Рис. 19.1).

Рис 19.1

Об’єм побудованого паралелепіпеда дорівнює

де - площа основи, а- його висота.

Нехай , тоді площа основи дорівнює

- кут, утворений векторами таЗгідно з визначенням мішаного добутку

де - кут, утворений векторамиі

У випадку, коли трійка - права (див. Рис. 20.1),і,- висота паралелепіпеда. У випадку лівої трійкиі

Тому

Знак відповідає випадку правої, алівої трійки векторів. отже, якщо взяти мішаний добуток за абсолютною величиною, то

931993\* MERGEFORMAT (.)

Якщо взяти трикутну призму або трикутну піраміду, побудовану на цих векторах (рис. 19.2), то

Рис 19.2

2. Мішаний добуток додатній, якщо - права трійка, і від’ємний у випадку лівої трійки.

3. При перестановці місцями множників так, що не змінюється орієнтація трійки векторів, не змінюється значення мішаного добутку:

4. Якщо вектори задані координатами то

941994\* MERGEFORMAT (.)

Дійсно, згідно формули для векторного добутку 1888 і формули 1778, знаходимо скалярний добуток:

5. Необхідна і достатня умова компланарності. Для того, щоб три ненульові вектори були компланарними, необхідно і достатньо, щоб їх мішаний добуток дорівнював нулю:

951995\* MERGEFORMAT (.)

Доведення необхідності. Нехай - компланарні і розміщені у одній площині (Рис. 19.3):

Рис 19.3

_Вектор перпендикулярний до вектора і до векторатомуа значитьтому

Доведення достатності. Нехай мішаний добуток дорівнює нулю: По-перше, це можливо, коли. Це означає, що- колінеарні. Тому можуть бути розміщені у одній площині.

Якщо то Але також і , отже, усі три вектори можуть бути розміщені в площині перпендикулярно до вектора

9620Equation Section (Next)§ 20. Задачі на застосування скалярного, векторного та мішаного добутків

Задача 20.1. Дано вектори та. Обчислити:

1);

2) .

Розв’язання.

1. Знайдемо координати векторів співмножників.

Скалярний добуток знаходиться за формулою 1778:

2) Знайдемо координати .

Тоді .

Задача 20.2. Дано вершини чотирикутника . Довести, що його діагоналі перпендикулярні.

Розв’язання.

На діагоналях чотирикутника розташовані вектори та. Перевіримо умову перпендикулярності двох векторів 1776:

,

з чого й випливає перпендикулярність діагоналей чотирикутника.

Задача 20.3. Дано вершини трикутника АВС: та . Визначити його внутрішній кут при вершиніВ.

Розв’язання.

Кут при вершині – це кут між векторамита. Маємо,.

У нашому випадку, згідно 1780,

.

, .

Тоді , отже, кут при вершиніВ дорівнює .

Задача 20.4. Дано вектори та, де,, кут між векторамитадорівнює. Знайти:

1) ;

2) косинус кута між векторами та.

Розв’язання.

Особливість цієї задачі полягає в тому, що координати векторів і невідомі, тому не вдасться скористатись зручною формулою для обчислення скалярного добутку через координати. Для обчислення скалярного добутку в цій задачі ми будемо користуватись властивостями скалярного добутку та формулою 1775.

1. Обчислимо

.

При обчисленні скористались тим, що

.

2. Нехай ,. Тоді

,

В результаті маємо:

.

Задача 20.5. Обчислити роботу сили при переміщенні матеріальної точки з положенняв положення.

Розв’язання.

Переміщення . Згідно 1781,

.

Задача 20.6. Обчислити проекцію вектора на вектор.

Розв’язання.

За формулою 1782

.

Задача 20.7. Дано та. Знайти векторний добуток.

Розв’язання.

Спочатку знайдемо координати вектора

.

Далі

Задача 20.8. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах та.

Розв’язання.

Площа паралелограма, побудованого на векторах і, знаходиться за формулою

.

Обчислимо векторний добуток :

Відповідно .

Задача 20.9. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах та, якщо відомо, що, та кут між векторамиідорівнює.

Розв’язання.

Як і в задачі 20.4, особливість цієї задачі полягає в тому, що координати векторів і невідомі. Для обчислення векторного добутку в цій задачі скористаємось властивостями векторного добутку та формулою для знаходження модуля векторного добутку:

.

Використовуючи властивості 1884, 1886векторного добутку, виразимо векторний добуток через векторний добуток векторіві:

Далі обчислимо площу паралелограма:

.

Задача 20.10. Перевірити, що чотири точки є вершинами трапеції.

Розв’язання.

Знайдемо координати векторів, які розташовані на сторонах чотирикутника :, , , .

У нашому випадку, згідно 1889 , так як. Значить дві сторони чотирикутника паралельні. Покажимо, що інші дві сторони не є паралельними:.

Отже, чотирикутник - трапеція.

Задача 20.11. Дано вершини трикутника . Обчислити довжину висоти, проведеної з вершини.

Розв’язання.

З одного боку, площу трикутника можна обчислити застосувавши векторний добуток:

,

а з другого-

.

Прирівнявши праві частини наведених формул, легко знайдемо:

.

Обчислимо координати шуканих векторів та компоненти векторного добутку:

, ,

,

Отже,

Задача 20.12. Сила прикладена у точці . Знайти величину моменту сили відносно точки.

Розв’язання.

Обчислимо вектор . За формулою 1891

.

Тепер обчислимо величину моменту сили:

.

Задача 20.13. Дано та. Знайти мішаний добуток.

Розв’язання.

Мішаний добуток векторів можна знайти за формулою 1994:

Задача 20.14. Знайти координату точки, при якій чотири точки, лежать в одній площині.

Розв’язання.

Знайдемо координати трьох векторів ,,. Далі помітимо, що задані чотири точки розташовані в одній площині тоді, коли три знайдені вектори компланарні. Для цього необхідно, щоб їх мішаний добуток був рівний нулю 1995:

Для обчислення визначника скористаємось його розкладанням за елементами другого рядка.

Остання рівність виконується при . Отже, чотири точки знаходяться у одній площині при.

Задача 20.15. Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах та, що виходять з однієї точки.

Розв’язання.

Об’єм паралелепіпеда, побудованого на трьох векторах , що виходять з однієї точки, дорівнює модулю мішаного добутку цих векторів 1993. Обчислимо мішаний добуток:

Тоді об’єм паралелепіпеда

.

Задача 20.16. Вершини піраміди знаходяться в точках ,,та. Обчислити:

1) площу грані ;

2) площу перерізу, який проходить через середину ребер ,,;

3) об’єм піраміди .

Розв’язання.

1) Грань піраміди представляє собою трикутник. Обчислимо площу трикутника 1890.

Маємо: ,. Значить

.

Остаточно одержимо: .

3. Використовуючи формулу для знаходження координат середини відрізка, знаходимо середини , ,– точки ,,відповідно. Площу перерізу знайдемо за формулою

.

Координати векторів ,, тоді

,

.

3) Оскільки

,

знайдемо координати векторів ,,та їх мішаний добуток:

.

Отже, .