Лекция №8 Области устойчивости сар в пространстве параметров регулятора и объекта

Для практики важно ответить на следующие вопросы:

1) при каких вариациях настроек параметров регулятора САР с заданным объектом будет сохранять устойчивость?

2) при каких вариациях параметров объекта САР с заданным регулятором и с рассчитанными настройками (фиксированными) будет сохранять устойчивость?

Геометрическое место точек в пространстве варьируемых параметров регулятора или объекта, при которых система будет находиться на границе устойчивости – называется границей устойчивости САР в этом пространстве параметров. Обратите внимание на двойственность понятия «граница устойчивости».

Граница устойчивости может быть найдена аналитическими, либо алгоритмическими методами (в частности – экспериментально).

Аналитические выражения, описывающие границу устойчивости, могут быть получены на основе критериев устойчивости. Поскольку при наличии запаздывания использование аналитических критериев затруднительно, то воспользуемся частотными критериями и запишем системы уравнений, которые позволяют найти необходимые аналитические выражения:

из критерия Найквиста, в полярной системе

координат;

а)

из критерия Найквиста, в прямоугольной системе

координат;

б) из критерия Михайлова (8.1)

Пример. Воспользуемся критерием Михайлова и найдем аналитическое выражение для границы устойчивости САР с объектом первого порядка с запаздыванием и ПИД-регулятором.

В п. 1.5.3. мы нашли собственный оператор такой САР:

Q^c(p) = T_изp(T_op + ) + k_ok_p(T_изT_прp² + T_изp + 1).

В частотной области он принимает вид:

Q^c(j) = T_изj(T_oj + ) + k_ok_p(T_изT_пр² + T_изj + 1)(cos_o – jsin_o).

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, получим:

ReQ^c(j) = =T_изT_o²  k_ok_p(T_изT_пр² + 1)cos_o – T_изk_ok_psin_o

ImQ^c(j) = =T_из + k_ok_pT_изcos_o – k_ok_p(T_изT_пр²sin_o – sin_o)

В соответствии с условиями устойчивости (8.1) граница устойчивости будет задаваться следующей системой параметрических уравнений:

(8.2)

Пусть мы хотим построить границу устойчивости в пространстве параметров регулятора: k_p, ,T_пр. Параметры объекта принимаются постоянными: k₀, T₀, τ_0, ν.

Порядок построения границ:

1) задаемся диапазоном изменения ω_гу. Для простейших одноконтурных систем можно принять ω_гу  ;

2) выбираем два из трех параметров, в плоскости которых будем строить границу устойчивости, чаще это k_p, . Третий параметр будем перебирать, получая семейство границ:T_пр = T_прi, ;

3) решаем (8.2) относительно выбранных параметров k_p, ;

4) подставляем в уравнение (8.2) численные значения параметров объекта, а также Т_прi, и перебираем ω_гу в выбранном диапазоне с мелким шагом, ждем, когда оно обратится в ноль.

5) строим границу устойчивости, подставляя ω_гу в выражения для k_p, ;

6) изменяем Т_пр и повторяем процедуру с п. 2.

Рис. 8.1

Область

неустойчивости

САР

Т_пр4

Т_пр3

Т_пр2

Область

устойчивости

САР

Т_пр1

k_p

Т_пр1 < Т_пр2 < Т_пр3; Т_пр4 >> Т_пр3

Рис. 8.2

Важно: для И- регулятора и астатического объекта области устойчивости нет, т.е. система структурно неустойчивая. Таким образом, интегрирующий регулятор с астатическим объектом применять нельзя – так как система будет неустойчива при любом значении настроечного параметра регулятора.

Рис. 8.3. Пример границ устойчивости для астатического ОУ

Граница устойчивости в плоскости параметров ОУ позволяет оценить диапазоны их возможного изменения САР до наступления неустойчивости. Это важно для обеспечения работоспособности САР в реальных условиях.

Важно: увеличение значения приводит к уменьшению области устойчивости системы, т.е. к усложнению управления ОУ.

Выше был рассмотрен аналитический подход к построению границы устойчивости. Рассмотрим алгоритмический подход, в основе которого лежит специальный эксперимент (может

Рис. 8.4. Пример границ устойчивости САР

в пространстве параметров объекта

проводиться на цифровых или аналоговых моделях, а при необходимости – на реальном объекте).

Целесообразный алгоритм нахождения границы устойчивости (см. рис. 8.5):

1) настроить Т_из  , т.е. взять П-регулятор и, изменяя k_р, найти ;

2) диапазон k_p  [0, ] разбить на 5 – 7 интервалов;

3) для значений k_р соответствующих выбранным интервалам разбиения, подбираем такие значения , при которых переходные процессы будут слабозатухающими или слаборасходящимися.

Рис. 8.5