- •1.1.1. Поняття множини
- •1.1.2. Елементи множини
- •1.1.3. Рівність множин
- •1.1.4. Задання та запис множин
- •1.1.5. Підмножини. Універсальна множина.
- •1.1.6. Операції над множинами та їхні властивості
- •Доведемо обернене включення:.
- •1.1.7. Потужність множин
- •Література
- •1.2.2. Декартовий (прямий) добуток множин
- •1.2.3. Бінарні відношення
- •1.2.4. Переріз відношення. Фактор-множина
- •1.2.5. Способи задання відношень
- •Література
- •Тема 1.3. Властивості відношень
- •1.3.1. Теоретико-множинні операції над відношеннями
- •1.3.2. Композиція відношень
- •1.3.3. Обернені відношення
- •1.3.4. Рефлексивні, симетричні і транзитивні відношення
- •1.3.5. Відношення еквівалентності
- •1.3.6. Відношення порядку
- •1.3.7. Відображення і функції
- •Література
- •Розділ 2. Теорія графів
- •Тема 2.1. Основні елементи теорії графів
- •2.1.1. Поняття графа
- •2.1.2. Ізоморфізм графів. Підграф. Суграф. Частковий граф
- •2.1.3. Числові характеристики графа
- •2.1.4. Маршрути незамкнені (ланцюги, шляхи) і замкнені (цикли, контури). Повнота. Зв’язність. Сильна зв’язність
- •2.1.5. Способи задання графа
- •Література
- •Тема 2.2. Операції над графами
- •2.2.1. Поняття графа
- •Тема 2.3. Дерева і цикли у графах
- •2.3.1. Компоненти зв’язності
- •Розглянемо незв’язний неорієнтований граф .
- •Отже, наведений на прикладі граф має три компоненти зв’язності.
- •2.3.2. Ранг та цикломатичне число графа
- •Якщо граф – вироджений, тобто має лише вершини, а ребра – відсутні, то і. За теоремою 2.3.2 додавання нового ребра збільшує або, або. Отже, числатаможуть лише зростати.
- •2.3.3. Дерева і ліси
- •Література
- •Тема 2.4. Розфарбування графа
- •2.4.1. Задача про чотири фарби. Правильне розфарбування графа
- •2.5.2. Визначення хроматичного числа. Хроматичний поліном
- •Література
- •Розділ 3. Загальна алгебра
- •Тема 3.1. Групи
- •3.1.1. Поняття алгебраїчної операції
- •3.1.2. Означення і приклади груп
- •Література
- •Тема 3.3. Поля
- •3.3.1. Означення поля. Приклади полів
- •3.3.2. Властивості полів
- •Література
- •Розділ 4.
- •Тема 4.1 булева алгебра
- •4.1.1 Визначення булевої функції
- •4.1.2. Формули логіки булевих функцій
- •4.1.3. Рівносильні перетворення формул
- •Основні правил булевих формул.
- •Правило рівносильних перетворень
- •4.1.4. Двоїстість. Принцип двоїстості.
- •4.1.5. Булева алгебра (алгебра логіки). Повні системи булевих функцій
- •Література
- •Тема 4.2. Нормальні форми
- •4.2.2 Розкладання булевої функції по змінним
- •Література
- •Тема 4.3. Мінімізація формул булевих функцій у класі диз'юнктивних нормальних форм
- •4.3.1. Застосування алгебри булевих функцій до релейно-контактних схем
- •Контрольні питання до теми 4
- •Література
- •Розділ 5.Комбінаторний аналіз
- •Тема 5.1. Основні поняття комбінаторного аналізу
- •5.1.1. Основні правила комбінаторики
- •Розв’язання
- •5.1.2. Розміщення. Розміщення з повтореннями
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •5.1.3. Перестановки. Перестановки з повтореннями
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •5.1.4. Комбінації. Комбінації з повтореннями
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •5.1.6. Біном Ньютона. Трикутник Паскаля. Властивості біноміальних коефіцієнтів
- •Література
- •Розділ 6.Теорія інформації та кодування
- •Тема 6.1. Теоретичні положення
- •1.2. Приклади розв’язання задач
- •6.3. Задачі
- •Література
- •7. Ефективне кодування
- •7.1. Теоретичні положення
- •7.2. Приклади розв’язання задач
- •Задача 7.2.2
- •Задача 7.2.5
- •1010000011001010011001001011110.
- •0001011011011101100110101100001011011.
- •7.3. Задачі
- •Література
4.3.1. Застосування алгебри булевих функцій до релейно-контактних схем
Розглянемо електричні релейно-контакные схеми, головний елемент яких - електромагнітне реле.
Нехай x1, x2, ... , xn – набір контактів у схемі. Контакти можуть бути розмикальними й замикаючими. Контакт називається им якщо він замикається при подачі напруги. Контакт називається розмикальним, якщо він розмикається при подачі напруги. Той самий контакт у схемі може бути як замикаючим, так і розмикальної.
Кожної послідовно- паралельній схемі зіставимо функцію провідності:
f(x1, x2, ... , xn) =
Функція провідності схеми, що складає з одного елемента x, для замикаючого контакту є f(x) = x, а для розмикального контакту f(x) = x.
Функція провідності схеми, що складає із двох послідовно з'єднаних контактів x й y (рис. 4.1) є f(x, y) = x&y.
Рис. 4.1
Функція провідності схеми, що складає із двох паралельно з'єднаних контактів x й y (рис. 4.2) є f(x, y) = x V y.
Рис. 4.2
Кожній рівнобіжній-послідовно-паралельній схемі можна поставити у відповідність формулу логіки булевих функцій, що реалізує функцію провідності цієї схеми. Дві схеми вважаються еквівалентними, якщо вони мають однакову функцію провідності. Застосовуючи рівносильні перетворення, можна спрощувати контактні, контактно-релейно-контактні схеми, заміняючи їх еквівалентними, з меншим числом контактів.
Приклад 4.22.
Знайдемо функцію провідності схеми, зображеної на рис. 4.3.
Рис. 4.3
f(x, y, z) = (y&z) V (x&y&z) V (x&y&z) (y&z) V (y&z) z.
Еквівалентна схема зображена на рис. 4.4.
Рис 4.4
Контрольні питання до теми 4
1. Виберіть правильний варіант відповіді 1 - 4 для наступних питань:
а) Скільки існує різних булевих функцій n змінних? б) Скільки існує різних наборів змінних для булевої функції n змінних?
Варіанти відповіді: 1) 2n; 2) 22 ; 3) n2; 4) n!.
2. Яке з наступних тверджень вірно:
а) Змінні булевої функції і сама булева функція приймають значення 0 або 1;
б) Змінні булевої функції приймають значення 0 або 1, а значення самої булевої функції збігаються із множиною дійсних чисел;
в) Значення змінних булевої функції збігаються із множиною дійсних чисел, а сама булева функція приймає значення 0 або 1;
г) Значення змінних булевої функції й значення самої функції збігаються із множиною дійсних чисел;
3. Виберіть правильний варіант відповіді 1 - 4 для наступних питань:
а) Скільки може бути різних ДНФ у булевої функції?
б) Скільки може бути різних ДДНФ у булевої функції?
в) Скільки може бути різних КНФ у булевої функції?
г) Скільки може бути різних ДКНФ у булевої функції?
Варіанти відповіді:
1 - нуль або одна; 2 - нуль або нескінченно багато; 3 - нуль або одна; 4 - одна; 5 - одна або нескінченно багато.
4. У який з нормальних форм (ДНФ, ДДНФ, КНФ, ДКНФ) перебуває дана формула булевої функції трьох змінних f(x, y, z):
а) xVy&z; б) x&y&z; в) (xVy)&(xVz); г) xVyVz; д) x&y&z V y&z; е) xVy; ж) x&z.
5. Яка релейно-контактна схема відповідає функції провідності f(x) = (xVy)&(xVz)?
6. Побудувати досконалу диз’юнктивну нормальну форму
Ù)Ù(;
ÙC);
;
(AÙ.
7. Записати досконалу диз’юнктивну нормальну форму бульових функцій, які приймають значення 1 тільки при таких значеннях аргументів:
(0,0),(0,1),(1,0);
(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1);
(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1),(1,0,0,0);
(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(1,1,1,1);
(1,1,0,0),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1),(1,1,1,1).
8. Записати досконалу диз’юнктивну нормальну форму бульових функцій f1(x1,x2,x3), f2(x1,x2,x3), f3(x1,x2,x3) та f4(x1,x2,x3) які задані таблично:
X1 |
X2 |
X3 |
f1(x1,x2,x3) |
f2(x1,x2,x3) |
f3(x1,x2,x3) |
f4(x1,x2,x3) |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |