4. 3.3.2. Властивості полів

Через те, що поле є кільцем, всі властивості кілець автоматично переносяться на поля, до них лише слід додати властивості операції ділення. Розглянемо ряд властивостей поля, що випливають безпосередньо з його означення.

1. Жодне поле не має дільників нульового елемента.

2. Для відношень елементів поля Р (а ) справедливі арифметичні властивості звичайних дробів, а саме:

1. якщо , то і тільки тоді, коли ;

2. для довільних елементів поля () виконується рівність ;

3. для довільних елементів поля () виконується рівність ;

4. для довільних елементів поля () виконується рівність ;

5. для довільних елементів поля () виконується рівність .

3. У полі Р справедливі звичайні арифметичні правила дій з цілими степенями:

.

При цьому за означенням при .

Література

1. М.Атья, И.Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. – Москва: Мир, 1972.

2. З.И.Боревич, И.Р. Шафаревич. Теория чисел. – Москва: Наука, 1985.

3. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. – Москва: Наука, 1976.

4. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. – Москва: Наука, 1981.

5. Ю.А.Дрозд, В.В.Кириченко. Конечномерные алгебры. – Киев: Вища школа, 1980.

6. А.А.Карацуба. Основы аналитической теории чисел. – Москва: Наука, 1983.

7. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. – Москва: Наука, 1977.

8. С.Ленг. Алгебра. – Москва: Мир, 1968.

9. Ж.-П.Серр. Группы и алгебры Ли. – Москва: Мир, 1969.

10. М.Холл. Теория групп. – Москва: ИЛ, 1962.

11. И.Р.Шафаревич. Основы алгебраической геометрии. Т.1 – Москва: Наука, 1988.

Розділ 4.

2. Тема 4.1 булева алгебра

4.1.1 Визначення булевої функції

Визначення 4.1. Булевою функцією f(x₁, x₂, ... , x_n) називається довільна функція n змінних, аргументи якої x₁, x₂, ... , x_n і сама функція f приймає значення 0 або 1, тобто x_i {0, 1},i = 1, 2, ... , n; f(x₁, x₂, ... , x_n) {0, 1}.

Однією з найважливіших інтерпретацій теорії булевих функцій є теорія перемикальних функцій. Спочатку математичний апарат теорії булевих функцій був застосований для аналізу й синтезу релейно-контактних схем з операціями послідовного й паралельного з'єднання контактів. Докладніше цей додаток теорії булевих функцій буде розглянуто в розділі 4.9.

Будь-яка булева функція може бути представлена таблицею, у лівій частині якої перераховані всі набори змінних (їх 2ⁿ), а в правій частині – значення функції. Приклад такого завдання представлений у таблиці 4.1.

Таблиця 4.1

x1 x2 x3	f(x1, x2, x3)
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	0 0 0 1 0 1 1 1

Для формування стовпця значень змінних зручний лексико-графічний порядок, відповідно до якого кожен наступний набір значень виходить із попереднім додатком 1 у двійковій системі числення, наприклад, 100 = 011+ 1.

Всього існує 2²різних булевих функційn змінних.

Функцій однієї змінної – 4. З них виділимо функцію “заперечення x”(позначається x). Ця функція представлена в таблиці 4.2.

Таблиця 4.2

x	x
0 1	1 0

Булевих функцій двох змінних – 16 (2² при n = 2). Ті з них, які мають спеціальні назви, представлені в таблиці 4.3.

Таблиця 4.3

x1 x2	x1Vx2	x1& x2	x1x2	x1~x2	x1  x2	x1¯ x2	x1ï x2
0 0 0 1 1 0 1 1	0 1 1 1	0 0 0 1	1 1 0 1	1 0 0 1	0 1 1 0	1 0 0 0	1 1 1 0

У таблиці 4.3 представлені наступні функції двох змінних:

x₁Vx₂ – диз’юнкція;

x₁& x₂ – кон’юнкція;

x₁x₂ – імплікація;

x₁~x₂ – еквівалентність;

x₁ x₂ – додавання по модулі 2;

x₁¯x₂ – стрілка Пірса;

x₁ï x₂ – штрих Шеффера.

Інші функції спеціальних назв не мають і можуть бути виражені через перераховані вище функції.