4.1.2. Формули логіки булевих функцій

Визначення 4.1.2. Формула логіки булевих функцій визначається індуктивно в такий спосіб:

1. Будь-яка змінна, а також константи 0 й 1 є формула.

2. Якщо A й B – формули, то A, AVB, A&B, A  B, A ~ B є формули.

3. Ніщо, крім зазначеного в пунктах 1-2, не є формула.

Приклад 4.1.

Вираз (xVy)&((y  z) ~ x) є формулою. Вираз x&y  z  ~x не є формулою. Частина формули, що сама є формулою, називається підформулою.

Приклад 4.2.

x&(yz) – формула; yz – її підформула.

Визначення 4.1.3. Функція f є суперпозиція функцій f₁, f₂, ... , f_n якщо f виходить за допомогою підстановок цих формул одна в одну і перейменуванням змінних.

Приклад 4.3.

f₁ = x₁&x₂ (кон’юнкція)_; f₂ = x (заперечення).

Можливі дві суперпозиції:

1) f = f₁(f₂) = (x₁)&(x₂)– кон’юнкція заперечень;

2) f = f₂(f₁) = (x₁&x₂) – заперечення кон’юнкцї.

Порядок підстановки задається формулою.

Усяка формула задає спосіб обчислення функції, якщо відомі значення змінних.

Приклад 4.4.

Побудуємо таблицю значень функції f(x₁, x₂, x₃) = (x₂ x₃) ~ (x₁Vx₂).

Таблиця 4.4 представляє послідовне обчислення цієї функції.

Таблиця 4.4

x1 x2 x3	x3	x2 x3	(x2 x3)	x1	x1Vx2	f(x1, x2, x3)
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	1 0 1 0 1 0 1 0	1 1 1 0 1 1 1 0	0 0 0 1 0 0 0 1	1 1 1 1 0 0 0 0	1 1 1 1 0 0 1 1	0 0 0 1 1 1 0 1

Таким чином, формула кожному набору аргументів ставить у відповідність значення функції. Отже, формула так само, як і таблиця, може служити способом Задача функції. Надалі формулу будемо ототожнювати з функцією, що вона реалізує. Послідовність обчислень функції задається дужками. Прийнято угоду про опускання дужок у відповідності з наступною пріоритетністю операцій: , &, V, і ~.

4.1.3. Рівносильні перетворення формул

На відміну від табличного Задача подання функції формулою не єдино. Наприклад, дві різні формули

x₁Vx₂ и (x₁&x₂)

реалізують одну функцію - штрих Шеффера.

Дві формули, що реалізують ту саму функцію, називаються рівносильними.

Рівносильність формул A й B будемо позначати слідуючим чином: A  B.

Для того, щоб установити рівносильність формул, можна скласти таблиці значень функції для кожної формули і порівняти їх. Для рівносильних формул ці таблиці збігаються. Інший спосіб встановлення рівносильністі формул полягає у використанні деяких установлених рівносильністей булевих формул.

Основні правил булевих формул.

Для будь-яких формул A, B, C справедливі наступні Рівносильністи:

1. Комутативність.

а) A&B B&A (для кон’юнкції);

б) AVB  BVA (для диз'юнкції).

2. Асоціативність.

а) A&(B&C)  (A&C)&C (для кон’юнкції);

б) AV(BVC)  (AVB)VC (для диз'юнкції).

3. Дистрибутивність.

а) A&(BVC)  A&BVA&C (для кон’юнкції щодо диз'юнкції);

б) AV(B&C)  (AVB)&(AVC) (для диз'юнкції відносно кон’юнкції).

4. Закон де Моргана.

а) (A&B)AVB (заперечення кон’юнкції є диз'юнкція заперечень);

б) (AVB) A&B (заперечення диз'юнкції є кон’юнкція заперечень).

5. Ідемпотентність.

а) A&A  A (для кон’юнкції);

б) AVA  A (для диз'юнкції).

6. Поглинання.

а) A&(AVB)  A (1– ий закон поглинання);

б) AVA&B  A (2– ий закон поглинання).

7. Розщеплення (склеювання).

а) A&B V A&(B)  A (1-ий закон розщеплення);

б) (AVB) & (AVB)  A (2-ий закон розщеплення).

8. Подвійне заперечення.

(A)  A.

9. Властивості констант.

а)A&1  A; б) A&0  0; в)AV1  1; г) AV0  A; д) 0 1; е) 1 0.

10. Закон протиріччя.

A&A  0.

11. Закон “виключення третього”.

AVA  1.

Кожна з перерахованих правил може бути доведена за допомогою таблиць значень функцій, складених для виражень, що коштують ліворуч і праворуч від символу “”. Доведемо, наприклад, рівносильність 4а. Для цього складемо таблицю 4.5.

Таблиця 4.5

A	B	A&B	(A&B)	A	B	AVB
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	1 1 1 0	1 1 0 0	1 0 1 0	1 1 1 0

З таблиці 4.5 видно, що (A&B)  AVB, що й було потрібно довести.

Наступні важливі рівносильністі показують, що всі логічні операції можуть бути виражені через операції кон’юнкції, диз'юнкції й заперечення:

12. AB AVB (A&B).

13. A~B  (AB)&(BA)  (A&B) V (A&B) АVB)&(AVB).

14. AAVB) V (A&B).

15. A¯B (AVB) A&B.

16. AïB (A&B)AVB.

Використовуючи рівносильністі 3а й 3б і метод математичної індукції, неважко одержати також наступні рівносильністі (узагальнені закони дистрибутивності):

17. (A₁VA₂V...VA_n)&(B₁VB₂V...VB_m) 

A₁&B₁VA₁&B₂V...VA₁&B_mV...VA_n&B₁VA_n&B₂V...VA_n&B_m.

18. (A₁&A₂&...&A_n)V(B₁&B₂&...&B_m) 

(A₁VB₁)&(A₁VB₂)&...&(A₁VB_m)&...&(A_nVB₁)&(A_nVB₂)&...&(A_nVB_m).

Використовуючи рівносильністі 4а й 4б і метод математичної індукції, можна одержати також наступні рівносильністі (узагальнені закони де Моргана):

19. (A₁&A₂&...&A_n) A₁VA₂V...VA_n.

20. (A₁VA₂V...VA_n) A₁&A₂&...&A_n

У рівносильностях 1 – 20 у якості A, B, A_i, B_i можуть бути підставлені будь-які формули й, зокрема, змінні. Приведемо правило, за допомогою якого можна переходити від одних Рівносильністей до інших.