Построение области устойчивости.

Построение области устойчивости по коэффициенту передачи k. Для этого в характеристическое уравнение подставимj, выделим действительную и мнимую части относительноk. При этом получим:

к = (Т₁+Т₂)²+j(Т₁Т₂³-)

Действительная часть - P() = (Т₁+Т₂)²

Мнимая часть - Q()=Т₁Т₂³ -.

Строим область устойчивости:

jI_MK

ReK

Рисунок 6 – Область устойчивости.

Рис. 6 подтверждает сделанные ранее расчеты. Система устойчива при K<10.

Строим логарифмическую амплитудную L() и фазовую() частотные характеристики моделируемой системы для разомкнутой цепи при четырех значенияхK.

Lgдек

L(дБ/дек

Рисунок 7 – Логарифмическая амплитудная частотная характеристика при различных значениях коэффициента K.

,рад/сек

Р

рад

исунок 8 – Фазочастотная характеристика при различных значениях коэффициентаK.

Вывод

В данной работе мы экспериментально исследовали динамические процессы в линейной системе при различных параметрах элементов системы, определили условия устойчивости и исследовали влияние изменения параметров на устойчивость системы.

Определили экспериментально и расчетным путем граничное значение коэффициента передачи разомкнутой цепи модели системы и получили его равным 10 в обоих случаях.

Построили область устойчивости по коэффициенту k. А также логарифмическую амплитудную L() и фазовую() частотные характеристики моделируемой системы для разомкнутой цепи при четырех значенияхk.

Лабораторная работа №5 Определение амплитудно-фазовых характеристик (афх) линейных систем

1. Цель работы

Целью работы является:

- построение функциональных и виртуальных моделей отдельных звеньев и систем регулирования в пакете MatLab;

- обоснование методов определения АФХ линейных систем;

- построение виртуальных моделей устройств для определения АФХ линейных систем;

- экспериментальное определение АФХ линейных систем;

- исследование частотных характеристик линейных систем в пакете Control System Toolbox.

2. Частотные характеристики линейных систем

Частотные характеристики широко используются при теоретических и экспериментальных исследованиях систем автоматического регулирования. По ним можно произвести исследование систем на устойчивость, оценить качество переходных процессов и выбрать корректирующие устройства.

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) может быть получена из передаточных функций теоретическим путем, если выполнить подстановку

, (1)

где ,- коэффициенты полинома числителя и знаменателя, соответственно;,- степень полинома числителя и знаменателя, соответственно.

При конкретном значении частоты комплексная функция, определяемая выражением (1), превращается в вектор. Как известно, вектор на комплексной плоскости можно задать в алгебраической форме или показательной.

АФХ можно определить экспериментальным путем, подав на вход звена или системы гармонические колебания и измерив реакцию системы. На выходе системы в установившемся режиме появляются колебания с частотой тестового сигнала, но с измененной амплитудой и фазой. Параметры выходного сигнала (проекции на оси координат или амплитуда и фаза) определяют точку на АФХ. Подавая на выход исследуемой системы ряд частот, получим на выходе ряд векторов. Плавно соединяя концы векторов, получим АФХ.

На рис.1 изображена АФХ колебательного звена. На этом же рисунке изображен вектор АФХ при частоте . Как видно из этого рисунка значение вектора АФХ приопределяется выражением

Рис.1. АФХ колебательного звена

, (2)

где - амплитуда входного сигнала.

Фазовый сдвиг выходного сигнала по отношению к входному (вектор входного сигнала совпадает с положительным направлением оси ), определяется как:

, (3)

где ,- действительная и мнимая составляющие АФХ звена или системы, соответственно.

Для сложных объектов систем аналитическое определение АФХ затруднительно. Поэтому на практике используют экспериментальные методы, согласно которым параметры АФХ определяются путем представления выходного сигнала объекта регулирования коэффициентами Фурье

, (4)

. (5)

где - это выходной (стационарный сигнал) системы.

Рис.2. Структурная схема устройства по определению АФХ непрерывной системы с определением периода интегрирования

В этом случае вектора АФХ определяются в виде проекций на действительную ось и на мнимую ось. На рис.2 с использованием блоков MatLab представлена структурная схема, реализующая выражение (4) и (5). Устройство содержит 1 – блок задающего сигнала; 2 – передаточная функция исследуемой системы; 3, 4 – блоки умножения, определяющие произведения согласно выражениям (4) и (5); 5 – блок задания коэффициента ; 6, 7 – блоки задания периодов; 8, 9 – пороговые устройства, определяющие период интегрирования; 10 – логический блок; 11, 12 – интеграторы; 13, 14 – блоки, фиксирующие результаты измерения; 15 – блок формирования косинусного сигнала.

Настройки блоков определяются выражениями (4) и (5). Блок 1 задает частоту и амплитудутестового сигнала. Так как АФХ строится как отношение выходного сигнала к входному, то для упрощения расчетов принимаем, что. Блок 5 задает коэффициент, стоящий перед интегралом Фурье. Блок 15 определяет косинусную составляющую блока умножения 4. Его можно получить из блока Sine Wave путем изменения параметра настройки: вводим фазовый сдвиг.

Следует указать, что выражения (4) и (5) определяют точки АФХ в установившемся режиме, который, при подаче на вход системы гармонического сигнала, наступает когда в системе затухают вынужденные колебания. Блоки 6 и 7 осуществляют отсчет периодов и через логический блок 10 определяют период интегрирования, при котором в системе установится стационарный режим. Затем, через переключатели 8 и 9, на время интегрирования блоки умножения 3 и 4 соединяются с интеграторами 11 и 12. Показания интеграторов фиксируются блоками 13 и 14 и определяют проекции вектора выходного сигнала на оси координат.

Обоснуем структурную схему устройства определения АФХ без выделения периода интегрирования. Для этого найдем значения выражений (4) и (5) при учете, что выходной сигнал имеет вид

, (6)

. (7)

Первые составляющие правых частей выражений (6) и (7), при делении их на , определяют проекции вектора АФХ на действительную и мнимую оси, соответственно. Вторые составляющие этих выражений являются гармонические функции, относительная величина которых уменьшается с увеличением. Чтобы сигналы на выходе интеграторов с достаточной точностью определяли составляющие векторов АФХ, следует время интегрирования выбрать достаточно большим (6-10 периодов), а затем полученный результат поделить на половину времени интегрирования.

На рис.3 по выражениям (6) и (7) представлена структурная схема устройства для определения АФХ по упрощенному алгоритму.

Рис.3. Структурная схема устройства для определения АФХ без определения периода интегрирования

Из рис.3 следует, что выходной сигнал исследуемого объекта умножается на опорные (синусоидальные и косинусоидальные) сигналы, а затем интегрируется. Во втором блоке умножения результаты интегрирования делятся на , что позволяет определятьипо выражениям (6) и (7).

Настройка устройства включает следующие операции:

- по частоте тестового сигнала задаем время моделирования;

- в блок Constant вносим константу равную половине времени моделирования.

В вышеописанных устройствах модели объектов регулирования заданы в виде передаточных функций. В MatLab имеется возможность представить исследуемые объекты в виде виртуальных моделей, использующих для своего представления аналоги «физических» элементов: резисторов, индуктивностей, конденсаторов, трансформаторов, тиристоров, электрических машин и т.д. При такой постановке задачи следует работать в пакете Sim Power System, состоящем из следующих разделов:

- неуправляемые и управляемые источники постоянного и переменного напряжения (Electrical Source);

- пассивные силовые элементы (Library Power Elements);

- силовые полупроводниковые преобразователи (Power Electronics );

- электрические машины (Machines);

- блоки связи (Connector);

- блоки измерений (Measurements);

- дополнительные разделы библиотеки (Simulink Extras);

- блок для измерения процессов в установившемся режиме (Powergui).

Далее рассмотрим только те блоки, которые используются при выполнении лабораторной работы.

При исследовании временных и частотных характеристик ТДЗ используются неуправляемые и управляемые источники постоянного и переменного напряжения. В окне настроек параметров источника напряжения (Al Voltage Source) выставляются амплитудное значение напряжения, начальная фаза и частота.

В разделе Measurements находятся блоки, предназначенные для соединения блоков библиотеки Simulink, с блоками пакета Power System Blockset. Блок Impedance Measurement позволяет измерить частотные характеристики полного сопротивления между двумя точками, указанными на схеме.

Особый интерес представляет блок Multimeter. Этот блок позволяет получить осциллограммы всех переменных без видимых соединений. В окне настроек блока Multimeter имеется два поля. В левом поле кнопкой Refresh вводятся измеряемые переменные. Все они или их часть с помощью кнопки Select переводятся во второе (правое) окно для измерения и регистрации результатов. Флажок Display signals at simulation stop позволяет вывести измеряемые сигналы в виде временных зависимостей.

Управляемый источник напряжения (Controlled Voltage Source) (раздел Electrical Sources), преобразует сигнал из функциональной модели в сигнал, используемый в виртуальной модели. Например, в пакете Simulink система исследуется с использованием передаточных функций, и сигналы между блоками передаются по однопроводной линии, в физических моделях цепь для протекания тока должна быть замкнутой, и сигналы передаются по двухпроводной линии. Управляемый источник преобразует однопроводную линию в двухпроводную. Преобразование сигналов из виртуальной модели в функциональную модель осуществляется блоками Voltage Measurement и Current Measurement (раздел Measurement).

Пассивные элементы R, L, C (раздел Elements) могут образовывать последовательные или параллельные цепочки. Причем, параметры в этих цепях могут быть заданы в виде Ом, Генри, Фарадах (RLC Branch), а могут быть заданы значениями активной, реактивной индуктивной, либо реактивной емкостной мощностями (RLC Load). Такое задание нагрузки иногда очень удобно при исследовании работы силовых полупроводниковых преобразователей. От нагрузки с тремя элементами можно перейти к цепи с меньшим количеством элементов, если часть из элементов исключить. Например, при R=0 исключается сопротивление из последовательной цепочки, а при C=inf исключается емкость из параллельной цепочки.

С использованием блоков из пакета Power System Blockset на рис.4 представлены виртуальные модели апериодического (рис.4,А) и дифференцирующего (рис.4,В) звеньев.

Из структурных схем по определению АФХ следует, что модель объекта может быть представлена передаточными функциями или «реальными» физическими элементами. В первом случае тестовый сигнал подается по однопроводной линии, а во втором случае – по двухпроводной линии. Во втором случае цепь должна быть замкнутой и для этой цели введены заземляющие элементы Ground (input) и Ground (output). В виртуальной модели (рис.4,А) за выходную величину можно принять ток (измеритель ), а виртуальной модели (рис.4,В) за выходную величину принято напряжение. В первом случае (рис.4,А) модель представляет апериодическое звено, а во втором случае (рис.4,В) – дифференцирующее.

Рис.4. Виртуальные модели типовых звеньев (4,А – апериодическое звено; 4,В – дифференцирующее звено)

MatLab, в отличии от других программ, имеет специальный режим Steady-state, который позволяет исследовать систему в установившемся режиме. Это повышает точность измерений, так как нет необходимости ждать затухания собственных колебаний звена. Для этого в окно исследуемой системы из библиотеки Powerlib следует ввести блок Powerqui, который позволяет:

- измерить параметры переходных процессов в любой точке виртуальной схемы, снабженной измерительным блоком, в котором указан измеряемый параметр;

- строить графики измеряемых параметров.

Виртуальные модели (рис.4) имеют осциллографы, в которых наблюдаются переходные процессы аналогичные кривым в реальной физической системе. Причем, обработка осциллограмм в пакете MatLab осуществляется значительно быстрее: путем вызова блока Powerqui.

Таким образом, АФХ в пакете MatLab можно получить, обрабатывая кривые структурных схем и виртуальных моделей. Причем, методика работы с виртуальными моделями совпадает с методиками работы на реальных физических системах.

Следующим шагом по изучению систем регулирования в среде MatLab является использование пакета прикладных программ (ППП) Control System Toolbox, которые позволяют не только исследовать, но и оптимизировать системы регулирования. При изучении частотных и временных характеристик с помощью ППП Control System Toolbox будем задавать данные, определяющие свойства звеньев, в виде передаточной функции. Синтаксис команды, создающей передаточную функцию с одним входом и выходом, имеет вид

,

где -значение коэффициентов числителя передаточной функции; - значение коэффициентов знаменателя передаточной функции.

Частотные и временные характеристики определяются с помощью команд, приведенных в таблице 1.

Таблица 1. Некоторые команды Control System Тооlbох

Синтаксис	Описание
Pole (<LTI-объект>)	Вычисление полюсов передаточной функции
Zero (<LTI-объект>)	Вычисление нулей передаточной функции
Step (<LTI-объект>)	Построение графика переходного процесса
Impulse (<LTI-объект>)	Построение графика импульсной переходной функции
Bode (<LTI-объект>)	Построение логарифмических частотных характеристик (диаграммы Боде)
Nyquist (<LTI-объект>)	Построение частотного годографа Найквиста

Пример выполнения некоторых команд приведен в m-файле (Программа 1)