Ход работы

Заданные коэффициенты: k₁ = k₂ = 1;T₁ = 0.2 c;T₂ = 0.2 c;k₃ > 0.

Схема эксперимента: схема моделируемой системы представлена на рис. 1

Рисунок 1 – Схема моделирования САР.

Определяем экспериментально граничное значение коэффициента передачи разомкнутой цепи модели системы. Для этого постепенно увеличивая значение коэффициента k₃, добиваемся незатухающих колебаний на выходе системы. Зарисовываем график переходного процесса.

Незатухающий колебательный процесс k₃₌10

Рисунок 2 – Незатухающие колебания на выходе системы

 Изменяя значение k₃, получаем три вида переходных процессов в системе: апериодический монотонный, апериодический с перерегулированием и затухающий колебательный. Для каждого вида переходного процесса зарисовываем график.

Апериодический монотонный k₃ =0.5

Рисунок 3 – Апериодическая монотонная форма переходного процесса.

Апериодический с перерегулированием k₃ =1.5

Рисунок 4 – Апериодическая с перерегулированием форма переходного процесса.

Затухающий колебательный k₃ =4

Рисунок 5 – Затухающая форма переходного процесса.

Рассчитываем граничное значение коэффициента передачи разомкнутой системы и сопоставляю его с экспериментальным значением.

Передаточная функция разомкнутой системы

, (1)

где k  - коэффициент усиления системы.

Передаточная функция замкнутой системы

. (2)

Для нахождения характеристического уравнения замкнутой системы G(p) запишем полином знаменателя передаточной функции (2) и приравняем его к нулю:

или

, (3)

где  ;;;.

Из соотношений (2) и (3) видно, что исследуемая система имеет третий порядок, а характеристическое уравнение третью степень.

По физическим соображениям коэффициенты характеристического уравнения (3) всегда положительны, и, следовательно, необходимо условие – положительность коэффициентов характеристического уравнения выполняется.

Для устойчивости системы третьего порядка требуется еще и выполнения условия положительности минорного определителя второго порядка:

. (4)

Подставим в неравенство (4) параметры элементов системы и найдем соотношения между параметрами, при которых система будет устойчива

.

Откуда

. (5)

Из неравенства (5) следует, что увеличение коэффициента приводит к ухудшению устойчивости. (Заметим здесь, что, с другой стороны, увеличение коэффициента усиления повышает точность системы при воспроизведении входного сигнала). Предельное значение коэффициента усиления системы, то есть значение, при котором система будет находиться на границе устойчивости, будет определяться равенством:

Таким образом, система будет устойчива, если коэффициент усиления системы буден находится в интервале:

Т. о. граничное значение коэффициента передачи разомкнутой системы:

а₁= Т₁+Т₂= 0.2+0.2 = 0.4 с;

а₀= Т₁·Т₂= 0.2·0.2 = 0,04 с;

а₂= 1 с;

а₃=kс;

k= 0.4·1/0.04 = 10c.

Следовательно, граничное значение коэффициента передачи, определенный экспериментально совпадает с значением коэффициента определенного расчетным путем.