Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Ответы по МатАну.docx
Скачиваний:
18
Добавлен:
08.02.2016
Размер:
468.87 Кб
Скачать

56 Вопрос:

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

,   ,

заданной уравнением

,   

и значение фиксированно.

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция 

  • непрерывна в некоторой окрестности точки 

  •  и

  • при фиксированном x функция F(x,y) строго монотонна по y в данной окрестности,

тогда найдётся такой двумерный промежуток , являющийся окрестностью точки , и такая непрерывная функция , что для любой точки 

Обычно дополнительно предполагается, что функция непрерывно дифференцируема, в этом случае условие монотонности следует из того, что , здесь обозначаетчастную производную по . Более того, в этом случае производная функции может быть вычислена по формуле

57 Вопрос: Теорема об обратной функции.

Теорема.  Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная в области значений f, также является возрастающей (соответственно убывающей).

Доказательство.  Положим для определенности, что функция f возрастающая. Обратимость функции f — очевидное следствие теоремы о корне . Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве E(f). Пусть x1 и x2 — произвольные значения из Е (f), такие, что x2> x1. и пусть y1=g(x1), y2=g(x2). По определению обратной функции x1=f(y1) и x2=f(y2). Воспользовавшись тем условием, что f — возрастающая функция, находим, что допущение y1 ≥ y2 приводит к выводу f (y1)≥f(y2), т. е. x1≥ x2. Это противоречит предположению x2> x1. Поэтому y2> y1 , т. е. из условия x2> x1 следует, что g (x2)>g (x1). Именно это и требовалось доказать.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.