• 46 Вопрос:

• Сходящийся ряд называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей , иначе — сходящимся условно.

• Аналогично, если несобственный интеграл от функции сходится, то он называется сходящимся абсолютно или условно в зависимости от того, сходится или нет интеграл от ее модуля .

• В случае общего нормированного пространства модуль в определении заменяется на норму.

Несобственный интеграл первого рода называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Свойства

• из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла .

• Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла первого рода используют признаки сходимости несобственных интегралов первого рода от неотрицательных функций.

• Если интеграл расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла первого рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

Признак Абеля: Признак Абеля дает достаточные условия сходимости несобственного интеграла.

Признак Абеля для несобственного интеграла I-рода (для бесконечного промежутка). Пусть функции и определены на промежутке . Тогда несобственный интеграл сходится, если выполнены следующие условия:

1. Функция интегрируема на .

2. Функция ограничена и монотонна.

Признак Абеля для несобственного интеграла II-рода (для функций с конечным числом разрывов). Пусть функции и определены на промежутке . Тогда несобственный интеграл сходится если выполнены следующие условия:

1. Функция интегрируема на т.е. сходится интеграл 

2. Функция ограничена и монотонна на .

Признак Дирихле: Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна-Дирихле.

Пусть выполнены условия:  и имеет на ограниченную первообразную , то есть ; функция ; . Тогда сходится.

• Очевидно, что вместо второго условия можно также записать .

• Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

Однако, условие монотонности не является необходимым.

 — сходится.

• Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

• Условная сходимость: Ряд называетсяусловно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. То есть, если существует (и не бесконечен), но.

• Если ряд условно сходится, то ряды, составленные из его положительных и отрицательных членов, расходятся.

• Путём изменения порядка членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, сходящийся к любой наперёд заданной сумме или же расходящийся (теорема Римана).

• При почленном умножении двух условно сходящихся рядов может получиться расходящийся ряд.

47 Вопрос:

Если функция не ограничена на промежутке интегрирования и промежуток интегрирования конечен, то определенный интеграл является несобственным интегралом второго рода.

1. Пусть функция  y = f(x)  определена и непрерывна на [a,b) и в точке b функция не ограничена.

.

Если предел, стоящий справа, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся и равен значению этого предела, в противном случае интеграл называется расходящимся.

Если оба предела, стоящие в правой части, существуют и конечны, то несобственный интеграл называется сходящимся и он равен сумме этих пределов, в противном случае – расходящимся.

Замечание 1. Несобственные интегралы могут быть комбинированного типа: первого и второго рода; или второго рода с несколькими точками разрыва второго рода.

Замечание 2. Если функция на отрезке интегрирования терпит разрыв первого рода в точке с, то определенный интеграл от нее по этому отрезку не является несобственным, т.е. его можно свести к сумме двух обычных определенных интегралов.

.