56 Вопрос:

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

,   ,

заданной уравнением

,   

и значение фиксированно.

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция  непрерывна в некоторой окрестности точки   и при фиксированном x функция F(x,y) строго монотонна по y в данной окрестности, тогда найдётся такой двумерный промежуток , являющийся окрестностью точки , и такая непрерывная функция , что для любой точки

Обычно дополнительно предполагается, что функция непрерывно дифференцируема, в этом случае условие монотонности следует из того, что , здесь обозначаетчастную производную по . Более того, в этом случае производная функции может быть вычислена по формуле

57 Вопрос: Теорема об обратной функции.

Теорема.  Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная в области значений f, также является возрастающей (соответственно убывающей).

Доказательство.  Положим для определенности, что функция f возрастающая. Обратимость функции f — очевидное следствие теоремы о корне . Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве E(f). Пусть x₁ и x₂ — произвольные значения из Е (f), такие, что x₂> x₁. и пусть y₁=g(x₁), y₂=g(x₂). По определению обратной функции x₁=f(y₁) и x₂=f(y₂). Воспользовавшись тем условием, что f — возрастающая функция, находим, что допущение y₁ ≥ y₂ приводит к выводу f (y₁)≥f(y₂), т. е. x₁≥ x₂. Это противоречит предположению x₂> x₁. Поэтому y₂> y₁ , т. е. из условия x₂> x₁ следует, что g (x₂)>g (x₁). Именно это и требовалось доказать.