54 Вопрос:

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции   в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

  .

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной[править]

Для функции, зависящей от одной переменной   второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции  :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что  есть произвольное и не зависящее от  , которое при дифференцировании по   следует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных[править]

Если функция   имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции  выглядит следующим образом:

где , а  произвольные приращения независимых переменных . Приращения   рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

• С помощью дифференциалов, функция   при условии существования её (n + 1) первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:

• для функции с одной переменной:

  ,  ;

• для функции с несколькими переменными:

  ,  

• Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции   явлется положительно определённым (отрицательно определенным), то точка   является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции   является неопределённым, то в точке   нетэкстремума.

55 Вопрос:

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Пусть дана функция и  — внутренняя точка области определения Тогда

•  называется точкой локального максимума функции если существует проколотая окрестность такая, что

•  называется точкой локального минимума функции если существует проколотая окрестность такая, что

Если неравенства выше строгие, то называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

•  называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

•  называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Необходимые условия существования локальных экстремумов [править]

• Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .

Тогда либо производная не существует, либо .

(Математический Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Высшая Школа» 1973 г.)

Достаточные условия существования локальных экстремумов [править]

• Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии

 является точкой строгого локального максимума. А если

то является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке 

• Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии

 и 

 является точкой локального максимума. А если

 и 

то является точкой локального минимума.

• Пусть функция дифференцируема раз в точке и , а .

Если чётно и , то - точка локального максимума. Если чётно и , то - точка локального минимума. Если нечётно, то экстремума нет.